+1 Daumen
3,8k Aufrufe

Beweisen Sie, dass die Inverse zu einer oberen Dreiecksmatrix \( A \in M(n, n, K) \) mit det \( A \neq 0 \) wieder eine obere Dreiecksmatrix ist.

Definition: Eine Matrix \( A \in M(n, n, K) \) heißt obere Dreiecksmartix, falls \( A_{i, j}=0 \) für alle \( 1 \leqslant j<i \leqslant n \) ist.

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen

Du kannst dir überlegen, was zu tun ist, wenn du die Dreiecksmatrix invertierst.

(Algorithmus, in dem du ein Schema mit n Zeilen und 2n Spalten bearbeitest.

Als Erstes kannst du dafür sorgen, dass in der untersten Zeile 1 steht. (Dazu durch ann) dividieren.

nun hast du zuunterst

000000000001 000000001/ann

Jetzt rechnest du die 2.unterste Zeile - an-1,n *die unterste Zeile und teilst sie danach durch aan-1,n-1

Nun hast du 2.-unterst

0000000010 00000001/an-1,n-1 b

usw.

Wenn man so weitermacht, können rechts unterhalb der Diagonalen keine von 0 verschiedenen Elemente reinkommen. D.h. die Inverse ist eine obere Dreiecksmatrix.

Wenn nötig und im Kurs gerade aktuell, kannst du diese Argumentation nun bestimmt auch in einen Induktionsbeweis umformulieren.

Avatar von 162 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community