Beweisen Sie, dass die Inverse zu einer oberen Dreiecksmatrix A wieder eine obere Dreiecksmatrix ist.

Question

Beweisen Sie, dass die Inverse zu einer oberen Dreiecksmatrix \( A \in M(n, n, K) \) mit det \( A \neq 0 \) wieder eine obere Dreiecksmatrix ist.

Definition: Eine Matrix \( A \in M(n, n, K) \) heißt obere Dreiecksmartix, falls \( A_{i, j}=0 \) für alle \( 1 \leqslant j<i \leqslant n \) ist.

Answer 1

Du kannst dir überlegen, was zu tun ist, wenn du die Dreiecksmatrix invertierst.

(Algorithmus, in dem du ein Schema mit n Zeilen und 2n Spalten bearbeitest.

Als Erstes kannst du dafür sorgen, dass in der untersten Zeile 1 steht. (Dazu durch a_nn) dividieren.

nun hast du zuunterst

000000000001 000000001/a_nn

Jetzt rechnest du die 2.unterste Zeile - a_n-1,n *die unterste Zeile und teilst sie danach durch _aa_n-1,n-1

Nun hast du 2.-unterst

0000000010 00000001/a_n-1,n-1 b

usw.

Wenn man so weitermacht, können rechts unterhalb der Diagonalen keine von 0 verschiedenen Elemente reinkommen. D.h. die Inverse ist eine obere Dreiecksmatrix.

Wenn nötig und im Kurs gerade aktuell, kannst du diese Argumentation nun bestimmt auch in einen Induktionsbeweis umformulieren.