obere Dreiecksmatrix => diagonal?

Question

Sei $A \in O(n)$ eine obere Dreiecksmatrix, daraus folgt, dass $A$ diagonal ist.

Könnte mir das jemand zeigen, wieso das stimmt? :)

Comments

Hallo

wie ist denn O(n) definiert?

Gruß lul

Answer 1

Bekanntlich ist $A\in\operatorname O(n)$ nichtsingulär und es gilt $A^{-1}=A^\top$. Es ist möglicherweise auch bekannt, dass die Inverse einer nichtsingulären oberen Dreiecksmatrix ebenfalls eine solche ist. Wenn $A$ eine obere Dreiecksmatrix ist, dann ist die Transponierte $A^\top$ offenbar eine untere. Die Inverse von $A$ ist also sowohl eine obere, als auch eine untere Dreiecksmatrix. Das gilt allerdings nur für Diagonalmatrizen. Wenn aber $A^{-1}$ eine Diagonalmatrix ist, dann ist auch $A$ eine.

Answer 2

sei $A=(a_1,...,a_n)$ orthogonal, d. h. $\langle a_i, a_j\rangle =\delta_{ij}$. Wenn $A$ eine obere Dreiecksmatrix ist, muss $a_1=(\alpha_1,0,...,0)$ mit $|a_1|=1$ gelten. Wegen $\langle a_1,a_2\rangle =0$ und $\langle a_2,a_2\rangle =1$ folgt $a_2=(0,\alpha_2,0,...,0)$ mit $|\alpha_2|=1$.

Du kannst nun induktiv so weiter machen: Für die Spalte $a_j$ gilt wegen$\langle a_i,a_j\rangle =0$ für $i<j$, dass der $i$-te Eintrag von $a_j$ Null ist. Aus $\langle a_j,a_j\rangle=1$ folgt, dass der $j$-te Eintrag von $a_j$ den Betrag Eins hat. Insgesamt erhält man daher, dass A eine Diagonalmatrix ist, deren Diagonaleinträge den Betrag 1 haben.