obere Dreiecksmatrix => diagonal?

Question

Sei \( A \in O(n) \) eine obere Dreiecksmatrix, daraus folgt, dass \( A \) diagonal ist.

Könnte mir das jemand zeigen, wieso das stimmt? :)

Comments

Hallo

wie ist denn O(n) definiert?

Gruß lul

Answer 1

Bekanntlich ist \(A\in\operatorname O(n)\) nichtsingulär und es gilt \(A^{-1}=A^\top\). Es ist möglicherweise auch bekannt, dass die Inverse einer nichtsingulären oberen Dreiecksmatrix ebenfalls eine solche ist. Wenn \(A\) eine obere Dreiecksmatrix ist, dann ist die Transponierte \(A^\top\) offenbar eine untere. Die Inverse von \(A\) ist also sowohl eine obere, als auch eine untere Dreiecksmatrix. Das gilt allerdings nur für Diagonalmatrizen. Wenn aber \(A^{-1}\) eine Diagonalmatrix ist, dann ist auch \(A\) eine.

Answer 2

sei \(A=(a_1,...,a_n)\) orthogonal, d. h. \(\langle a_i, a_j\rangle =\delta_{ij}\). Wenn \(A\) eine obere Dreiecksmatrix ist, muss \(a_1=(\alpha_1,0,...,0)\) mit \(|a_1|=1\) gelten. Wegen \(\langle a_1,a_2\rangle =0\) und \(\langle a_2,a_2\rangle =1\) folgt \(a_2=(0,\alpha_2,0,...,0)\) mit \(|\alpha_2|=1\).

Du kannst nun induktiv so weiter machen: Für die Spalte \(a_j\) gilt wegen\(\langle a_i,a_j\rangle =0\) für \(i<j\), dass der \(i\)-te Eintrag von \(a_j\) Null ist. Aus \(\langle a_j,a_j\rangle=1\) folgt, dass der \(j\)-te Eintrag von \(a_j\) den Betrag Eins hat. Insgesamt erhält man daher, dass A eine Diagonalmatrix ist, deren Diagonaleinträge den Betrag 1 haben.