Zeigen Sie, dass eine obere Dreiecksmatrix genau dann invertierbar ist, wenn …

Question

Aufgabe:

Sei \( n \geq 1 \) eine natürliche Zahl. Eine \( n \times n \)-Matrix \( A=\left(a_{i j}\right) \in \operatorname{Mat}_{n \times n}(\mathbb{R}) \) ist eine obere Dreiecksmatrix, wenn \( a_{i j}=0 \) für alle \( i>j \), d.h.
\(A=\left(\begin{array}{ccccc}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n-1} & a_{1 n} \\0 & a_{22} & \ldots & a_{2 n-1} & a_{2 n} \\0 & 0 & \ddots & \vdots & \vdots \\\vdots & & \ddots & \vdots & \vdots \\0 & 0 & \ldots & 0 & a_{n n}\end{array}\right) .\)

Wir bezeichnen mit \( \mathrm{B}_{n} \subset \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R}) \) die Menge aller invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen.
1. Zeigen Sie, dass eine obere Dreiecksmatrix \( A=\left(a_{i j}\right) \in \operatorname{Mat}_{n \times n}(\mathbb{R}) \) genau dann invertierbar ist, wenn \( a_{i i} \neq 0 \) für alle \( 1 \leq i \leq n \).
2. Es seien \( A_{1}, A_{2} \in \mathrm{B}_{n} \). Zeigen Sie, dass auch \( A_{1} \cdot A_{2} \in \mathrm{B}_{n} \).
3. Zeigen Sie mithilfe des Gauß-Algorithmus, dass \( A^{-1} \in \mathrm{B}_{n} \) für jedes \( A \in \mathrm{B}_{n} \).

Problem/Ansatz:

Mir wurde gesagt, dass man das mit einem Induktionsbeweis lösen soll aber keine Ahnung wie oder habt ihr bessere Lösung?

Answer 1

Zeige, dass die Determinante einer oberen Dreiecksmatrix das Produkt der Diagonaleinträge ist. Damit ergibt sich die erste Aussage sofort aus der Tatsache, dass eine Matrix genau dann invertierbar ist, wenn ihre Determinante ungleich 0 ist, woraus folgt, dass alle Faktoren und damit alle Diagonaleinträge ungleich 0 sein müssen.

Diesen Beweis kann man per Induktion führen, indem man mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz arbeitet.