Aufgabe:
Sei \( n \geq 1 \) eine natürliche Zahl. Eine \( n \times n \)-Matrix \( A=\left(a_{i j}\right) \in \operatorname{Mat}_{n \times n}(\mathbb{R}) \) ist eine obere Dreiecksmatrix, wenn \( a_{i j}=0 \) für alle \( i>j \), d.h.
\(A=\left(\begin{array}{ccccc}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n-1} & a_{1 n} \\0 & a_{22} & \ldots & a_{2 n-1} & a_{2 n} \\0 & 0 & \ddots & \vdots & \vdots \\\vdots & & \ddots & \vdots & \vdots \\0 & 0 & \ldots & 0 & a_{n n}\end{array}\right) .\)
Wir bezeichnen mit \( \mathrm{B}_{n} \subset \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R}) \) die Menge aller invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen.
1. Zeigen Sie, dass eine obere Dreiecksmatrix \( A=\left(a_{i j}\right) \in \operatorname{Mat}_{n \times n}(\mathbb{R}) \) genau dann invertierbar ist, wenn \( a_{i i} \neq 0 \) für alle \( 1 \leq i \leq n \).
2. Es seien \( A_{1}, A_{2} \in \mathrm{B}_{n} \). Zeigen Sie, dass auch \( A_{1} \cdot A_{2} \in \mathrm{B}_{n} \).
3. Zeigen Sie mithilfe des Gauß-Algorithmus, dass \( A^{-1} \in \mathrm{B}_{n} \) für jedes \( A \in \mathrm{B}_{n} \).
Problem/Ansatz:
Mir wurde gesagt, dass man das mit einem Induktionsbeweis lösen soll aber keine Ahnung wie oder habt ihr bessere Lösung?
