Nilpotente obere Dreiecksmatrix B mit B=K^k*k-> B^k=0 zu zeigen

Question

Aufgabe:

Sei

$$ B= \begin{pmatrix} 0 & b_{1,2} & b_{1,3} & ... & b_{1,n} \\ 0 & 0 & b_{2,3} & ... & b_{2,n} \\ ... & & ...  & ... &... \\ 0 & & ... & 0 & b_{n-1,n} \\ 0 & & & ... & 0 \end{pmatrix} \in K^{n*n} $$

Zeigen Sie, dass Bⁿ= 0.

Hinweis:Zeigen Sie per Induktion über k, dass B^k[i,j]=0 für j < i+k.

Problem/Ansatz:

Für k=1 ist nichts zu zeigen, da dann (0)=0 ist.

Also sei k=2. Dann ist $$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0& 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0& 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0& 0 \end{pmatrix} $$

Folglich ist

$$ B^{2} [i,j]=0, \qquad i,j \leq2 $$

Weiter ist dann k→k+1 zu zeigen.

An dieser Stelle komme ich nicht weiter.