Selbstadjungierend und Nilpotent daraus folgt F=0?

Question

Sei \( V \) ein nicht-trivialer, endlich-dimensionaler Vektorraum mit Skalarprodukt und \( F \in \operatorname{End}(V) \) selbstadjungiert und nilpotent. Zeigen Sie, dass \( F=0 \) ist.

Könnte mir hier jemand helfen? :)

Comments

Ist denn etwas über den Körper von \( V \) bekannt?

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Nur das was ich oben bereits geschrieben hab

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Kennst du den Spektralsatz?

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Ja, könntest du mir helfen wie ich den darauf anwende?

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Schau dir mal den Beweis von Mathhilf an, der ist sehr elementar.

Mit Spektralsatz geht das so:

Selbstadjungierte Endomorphismen sind diagonalisierbar. Ist \( \lambda \) ein Eingewert mit zugehörigem Eigenvektor \( v \neq 0 \) von \( F \) und \( F^n = 0 \) (nilpotent), dann ist $$ 0 = F^n(v) = \lambda^n v \implies \lambda^n = 0 \implies \lambda = 0 $$

Sei B irgendeine Basis von V, dann existiert also eine invertierbare Matrix S mit

$$ M_B(F) = S^{-1} \begin{pmatrix} 0 \\ & \ddots \\ && 0 \end{pmatrix} S = \begin{pmatrix} 0 \\ & \ddots \\ && 0 \end{pmatrix} $$

Also ist die Darstellungsmatrix von F bzgl. B die Nullmatrix. Aber dann muss zwingend \( F = 0 \) sein.

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Ok, vielen Dank. Also gehen beide Beweise, aber deiner beinhaltet den Spektralsatz?

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Ja. Den unten finde ich aber ehrlich gesagt selbst schöner ;)

Answer 1

Hallo,

es sei \(n \in \mathbb{N}\) minimal, so dass \(F^n=0\) ist. Dann ist (sofern n>1) \(F^{n-1} \neq 0\), also existiert \(v \in V\) mit \(F^{n-1}v \neq 0\). Das führt zu folgendem Widerspruch:

$$0 \neq \langle F^{n-1}v,F^{n-1}v \rangle=\langle F^n v,F^{n-2}v \rangle=0$$

Gruß Mathhilf