Wenn A und B nilpotent sind und A mal B=B mal A, dann ist auch A+B nilpotent.

Question

Aufgabe:

Sei \( n \geq 1 \) eine natürliche Zahl. Eine reelle \( n \times n \)-Matrix \( A \) heißt nilpotent, wenn es \( k \geq 1 \) gibt, sodass \( A^{k}:=A \cdot A \cdot \ldots \cdot A(k \)-te Potenz \( ) \) die Nullmatrix ist.
1. Geben Sie eine reelle \( 2 \times 2 \)-Matrix \( A \neq 0 \) mit \( A^{2}=0 \) an.
2. Es seien \( A, B \in \operatorname{Mat}_{n \times n}(\mathbb{R}) \) mit \( A \cdot B=B \cdot A \). Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass
\((A+B)^{k}=\sum \limits_{i=0}^{k}\binom{k}{i} A^{i} \cdot B^{k-i}\)
für alle \( k \geq 0 \). Sie dürfen ohne Beweis die Gleichung
\(\binom{k}{i-1}+\binom{k}{i}=\binom{k+1}{i}\)
für \( 1 \leq i \leq k \) verwenden.
3. Beweisen Sie folgende Aussage: Wenn \( A \) und \( B \) nilpotent sind und \( A \cdot B=B \cdot A \), dann ist auch \( A+B \) nilpotent.

Problem/Ansatz:

Für die 1 wäre doch A=(a11=0,a12=1,a21=0,a22=0) am besten oder nicht? Und ich weiß nicht wie man die Aufgabe 3 löst. Vielen Dank im voraus.

Answer 1

Zu 1) Was heißt denn am besten? Was wäre denn die zweitbeste Wahl? Du sollst eine(!) Matrix angeben, für die Eigenschaft gilt (mit Nachweis).

Zu 3) Geht mit 2). Bei mehrteiligen Aufgaben immer die vorigen Aufgabenteile betrachten.

Es gibt ja zwei Nilpotenzindices, wie der dritte (der von A+B) aussieht, ist erstmal unklar. Wenn Du den aber geeignet wählst, sind alle Summanden im bin. Lehrsatz 0. Schreib die Summe bei Bedarf aus.

Answer 2

Du kannst nachrechnen, dass \( \begin{pmatrix} 0 & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) (und die Transponierten) die einzigen 2x2-Matrizen vom Nilpotenzgrad 2 sind: \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^2 \) = \( \begin{pmatrix} (a^2+bc) & b(a+d) \\ c(a+d) & (bc+d^2) \end{pmatrix} \) .

Wenn b oder c Null sind, bleiben in der Diagonale a² und d², also muss c=0  oder b=0 sein.