Matrix nilpotent für bestimmte hochzahl

Question

Aufgabe:

Ist A nilpotent? D.h. gibt es ein k∈ℕ mit A^k = O ? Hinweis: O ist die Nullmatrix.

a.) $$ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & 5 & -2  \end{pmatrix}  $$

b.) $$ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1  \end{pmatrix}  $$

Problem/Ansatz:

Hab hier das problem, das ich weder Determinanten, noch Eigenwerte, noch Inverse Matrix verwenden darf.

Nun bleibt eigentlich nurnoch der Rang übrig, um A ist nilpotent zu zeigen.

"hat sie keinen vollen Rang, d. h. ihre Spaltenvektoren sind linear abhängig. Es sind jedoch nicht alle quadratischen Matrizen mit linear abhängigen Spalten auch gleichzeitig nilpotent."

Aber wenn die Spaltenvektoren linear unabhängig wären, wäre doch zumindest gezeigt, das A nicht nilpotent ist oder?

a.) nicht nilpotent. Weil spalten vektoren linear unabhängig

b.) spaltenvektoren sind linear abhängig. Kann man noch keine Aussage treffen oder?

Was kann ich dann noch machen.

Answer 1

a) ist schon mal OK.

Bei b) kannst du ja mal was rechnen, etwa A^2 und A^3 etc.

und schauen was passiert.  Dann bemerkst du

A^2 = 3*A  und A^3 = A*3*A = 3*(A*A) = 3*3*A = 9*A

etc. Also ist A^n = 3^n * A

wird also nie 0, also A nicht nilpotent

Comments

Hm, das ist aber nur eine vermutung oder?

Also als Beweis geht das wohl nicht durch.

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An = 3^n * A  beweist du durch vollst. Induktion

und 3^n ≠ 0 darfst du wohl voraussetzen.

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Danke, ich glaube aber es sollte Aⁿ  = 3^n-1 * A sein.

Und bei a.) is mir aufgefallen, das die Matrix doch keinen vollen rang hat, war nur rechenfehler von mir.

Mit deinen Tipp einfach mal ausmultiplizieren hab ich aber schon mein k gefunden.

a.) für A³   = O