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Aufgabe:

Sei K ein Körper und V ein K- Vektorraum mit dim V = n < ∞

Sei A∈Knxn nilpotent.

(i) Zeigen sie: PA(t) = ± tn . Welche Minimalpolynome kommen für A in Frage?

(ii) Sei An-1≠0. Beweisen sie, dass es keine Quadratwurzel aus A gibt, d.h. kein B∈Knxn mit B2 = A.


Könnte jemand helfen?

LG Balckwolf :)

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1 Antwort

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Sei \( \lambda \) ein Eigenwert von \( \boldsymbol{A} \), und \( v \in \mathrm{K}^{n} \) ein dazugehöriger Eigenvektor. Dann gilt
\( A^{n} v=0 \Longleftrightarrow \lambda^{n} v=0 \stackrel{v \neq 0}{\Longrightarrow} \lambda=0 . \)
Also hat \( \boldsymbol{A} \) nur den Eigenwert 0, womit das charakteristische Polynom also die Form
\( p_{\boldsymbol{A}}(x)=\pm x^{n} \)
annimmt. Das Minimalpolynom teilt das charakteristische Polynom, es hat also die Form
\( m_{A}(x)=x^{k}, \quad k \in\{1, \ldots, n\} \)
Schaffst du die zweite alleine?

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Danke erstmal für die Antwort.

Könntest du mir da einen Hinweis geben wie ich Anfangen muss?

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