Beweise ist A nilpotent, und AB = BA, so ist AB ebenfalls nilpotent

Question

Aufgabe:

Beweise ist A nilpotent, und AB = BA, so ist AB ebenfalls nilpotent

Problem/Ansatz:

Wir haben eine Matrix A ∈ K^n×n heißt nilpotent, falls es ein N ∈ N mit A^N = 0 gibt.

Ich bin mir nicht sicher mit der Formulierung des Beweis, ich würde halt einfach aus AB=BA folgern das die kommutativität gegeben ist und daher B ebenfalls eine nxn Matrix ist, und aus A^N=0 folgern das B nur ein skalar ist wodurch AB=BA -> AB^N=0

ich bin mir aber nicht sicher ob das so geht.

Answer 1

$$ Sei \quad A \quad nilpotent \quad mit \quad A^n=0$$

$$(AB)^n=(AB) \cdot (AB)\cdot \ldots \cdot (AB) \underset{\text{AB=BA}}{=}A \cdot A \cdot \ldots \cdot A \cdot B \cdot \ldots \cdot B=A^n \cdot B^n\underset{\text{A nilpotent}}{=}0 \cdot B^n=0$$

$$ Also \quad (AB) \quad nilpotent \quad mit \quad (AB)^n=0$$


LG