Ist AB nilpotent ist, so ist auch BA nilpotent - wahr oder falsch?

Question

HI, ich habe irgendwie keinen Ansatz zu der Aufgabe. Ich habe mal eine ähnliche Aufgabe bearbeitet, bei welcher die Aussage wahr ist. Deshalb tendiere ich auch dazu, dass diese Aussage richtig ist, habe aber keine Idee das zu zeigen:

Zeigen oder widerlegen Sie: Ist K ein Körper, n≥1 und sind A,B∈K Matrizen, so dass AB nilpotent ist, so ist auch BA nilpotent. Wenn die Aussage falsch ist, geben Sie insbesondere ein konkretes Gegenbeispiel an und begründen Sie, dass es sich um ein Gegenbeispiel handelt.

Habt ihr vielleicht eine Idee?

Answer 1

Aloha :)

Da \(AB\) nilpotent ist, gibt es ein \(n\in\mathbb N\), sodass \((AB)^n=0\) gilt. Wir gehen von diesem \(n\) aus und betrachten:

$$(BA)^{n+1}=\underbrace{BA\cdot BA\cdot BA\cdots BA}_{(n+1)-\text{mal}}=B\underbrace{(AB)(AB)(AB)\cdots(AB)}_{=n-\text{mal}}A$$$$\phantom{(BA)^{n+1}}=B\underbrace{(AB)^n}_{=0}A=0$$Also folgt aus der Nilpotenz von \(AB\) auch die Nilpotenz von \(BA\).

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Vielen lieben Dank, dass hilft sehr:)