. Ich habe schwiriegkeiten meine Ideen zu folgender Aufgabe formal korrekt aufzuschreiben.
Sei K ein Körper, A \( \in K^{nxn} \) eine Matrix. Welche der folgenden Aussagen sind richtig. Begründen oder Gegenbeispiel
a) Wenn \( A^{2} \) nilpotent ist, ist A auch nilpotent
b) Wenn A nilpotent ist, ist auch \( A^{T} \) nilpotent
c) Wenn ker A = im A gilt, ist A nilpotent
Meine Ideen:
a)\( A^{2}=A*A \) nilpotent \( \Rightarrow (A*A)^{k}=0 \Rightarrow A^{2k}=0 \Rightarrow A \) ist nilpotent
b) \( A \) und \( A^{T} \) haben die gleiche Spur und Determinante beider Matrizen ist = 0 und somit haben beide als einzigen Eigenwert die 0 und so müsste auch das Transponierte einer nilpotenten Matrix auch nilpotent sein.
c) ker A = {v| A*v = 0}, im A = lineare hülle aus Spaltenvektoren von A in zeilen-stufen Form, bzw. im A = {Ax | x \( \mathbb{R} \) } Wie ich hier weiterkomme, weiss ich gerade nicht.
Reichen die Lösungen zu a) und b) oder doch noch zu ungenau und was übersehe ich denn bei c)?
