Zeige: Die Spur einer nilpotenten Matrix ist 0.

Question

Aufgabe:

Hey Leute, ich habe eine Frage zu nilpotenten Matrizen:

Ich habe eine nilpotente Matrix A∈Knxn. Und jetzt soll ich zeigen, dass Spur(A) = 0 ist.

Da stehe ich irgendwie ein wenig auf dem Schlauch, da ich nicht weiß wie ich die Eigenschaft von A geschickt einsetze...

Ich hoffe mir kann jemand helfen.

Answer 1

Eine nilpotente Matrix hat nur die Zahl 0 als Eigenwert;

denn es gibt ein n mit Aⁿ = 0, also für alle v∈Kⁿ gilt Aⁿ*v=0.

Angenommen es gäbe einen Eigenwert k≠0,

dann gäbe es auch einen Vektor v∈Kⁿ mit A*v=k*v≠0

Dann wäre aber auch Aⁿ*v =kⁿ*v ≠0.

Da die Spur immer die Summe der Eigenwerte ist, ist

also die Spur=0.