Produkt mit einer nilpotenten Matrix

Question

Hi,

habt ihr vielleicht eine Idee, wie ich diese Aussage zeigen kann?:
Ist Kein Körper, n≥1 und sind A,B∈K^n×nMatrizen mit im A⊆kerB, so ist AB nilpotent.

Ich habe dazu eine Idee, aber kriege dass nicht formal aufgeschrieben:

Da ja gilt, dass im A⊆kerB, muss A ja von vorne herein nilpotent sein, da A ja auf die = abgebildet wird. Und wenn ich mit einer nilpotenten Matrix multipliziere muss dieses Produkt ja auch automatisch nilpotent sein, oder?

Es wäre wirklcih extrem nett, wenn mir jemand hierbei helfen könnte.

VG:)

Answer 1

Da ja gilt, dass im A⊆kerB, muss A ja von vorne herein nilpotent sein, da A ja auf die = abgebildet wird.

Nein. Das heißt nur, dass A auf Vektoren abbildet, die dann von B auf 0 geschickt werden. A muss nicht nilpotent sein, A = Einheitsmatrix, B = Nullmatrix ist ein Gegenbeispiel für deine Behauptung.

Versuche es so:

Sei im A ⊆ ker B. Ist \( w ∈ K^n\) beliebig, dann liegt A*w im Bild von A und folglich auch im Kern von B das heißt

B*(A*w) = 0

Sei jetzt \( v\in K^n \) beliebig, was ist dann

$$ (AB)^2 v = ABABv $$ ? Jetzt setze mal für v die Standardbasisvektoren \( e_i \) ein, was kannst du aus dem Ergebnis folgern?

Comments

hey,

vielen Dank für deine Antwort (und sorry für den Typo, dass ist mir gerade erst aufgefallen) :)

Da ja im A ⊆ ker B müsste doch BA=0 und damit auch ABABv=0, d.h. AB ist nilpotent und man kann hier sogar vom Nilpotenzgrad 2 ausgehen.

stimmt dass so, ich komme gerade nicht so recht darauf, was du mit den Standardbasisvektoren e_j in diesem Zusammenhang meinst.

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Ja genau, ich würde aber nur von einem Nilpotenzgrad ≤2 ausgehen, es könnte auch schon AB = 0 sein.

Das mit den Standardbasisvektoren ist unnötig wenn der Schritt:

∀v : M*v = 0 => M = 0

klar ist. Dann kann man wie von dir richtig erkannt auch einfach BAv = 0 => BA = 0 => ABAB = 0 argumentieren.

Falls das jedoch nicht klar ist, muss man das eben schnell zeigen

M * e_i ist die i. Spalte von M, wenn das also für alle i=1,...,n gleich 0 ist muss M die Nullmatrix sein.

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Okay super, vielen lieben Dank für deine Hilfe:)

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Gerne!

Vielleicht noch als Anmerkung: Aus A nilpotent folgt im allgemeinen nicht dass AB nilpotent ist. Z.B

$$ A = \begin{pmatrix} 0&1\\0&0\end{pmatrix}, B= \begin{pmatrix} 0&1\\1&0\end{pmatrix} $$

aber

$$ (AB)^k = \begin{pmatrix} 1&0\\0&0\end{pmatrix} $$

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Danke, jetzt vergesse ich das nicht mehr:)