Zeigen von bestimmten Eigenschadften einer nilpotenten Matrix.

Question

Aufgabe: Sei A ∈ Mat(n × n; K) eine nilpotente Matrix, d.h. es existiert ein k ∈ N mit
A^k = 0. Zeigen Sie

Es gilt Aⁿ = 0 und det A = SpurA = 0

…

Problem/Ansatz:

Ich komme nicht drauf, wie ich das zeigen kann.

Answer 1

A^k = 0.

==> Det(A^k)=0

Und wegen Det(A^k) =  Det(A)^k (Determinantenmultiplikationssatz)

also auch Det(A)=0

und: Eine nilpotente Matrix hat nur die Zahl 0 als Eigenwert;

denn es gibt ein k mit A^k = 0, also für alle v∈Kⁿ gilt A^k*v=0.

Angenommen es gäbe einen Eigenwert z≠0,

dann gäbe es auch einen Vektor v∈Kⁿ mit A*v=z*v≠0

Dann wäre aber auch A^k*v =z^k*v ≠0.

Da die Spur immer die Summe der Eigenwerte ist, ist

also die Spur=0.