Basis B bestimmen einer nilpotenten linearen Abbildung

Question

Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum mit n= dimV <∞, und φ:V→V eine nilpotente lineare Abbildung. Es gibt also ein m∈N mit φ^m= 0(Null-Abbildung).

Sei n= 2 und φ≠ 0. Zeigen Sie:Es gilt dim Bild(φ) = 1 und es gibt eine Basis B von V mit M_B(φ) =[(0  1), (0  0) ].

Meine bisherigen Ansätze:

Es gilt dim Kern(φ)=1.

Weiter ist das charakteristische Polynom gegeben durch x², d.h.  0 ist der einzige Eigenwert von der Matrix.

Es ist Kern M_B(φ)=<(1,0)>, wobei <> die lineare Hülle bezeichnet.

Außerdem ist M_B(φ)*M_B(φ)=0v , d.h. m=2.

Es ist U= Bild (φ) =<(0,1)>.

Nun soll ich φ`bestimmten, dass definiert ist durch φ eingeschränkt auf U und abgebildet von U→U.

Außerdem muss ich eine Basis B´ von U bestimmen und M_B´(φ).

Wenn ich die Basis B´dann zu der Basis B ergänze, halte ich glaube ich die Basis B.

Allerdings hab ich keine Ahnung wie ich das machen soll. Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen.

Comments

Ich finde die Frage auch sehr interessant. Kann keiner sagen ob das so stimmt wie Zahlenprofi es geschrieben hat und wie man weiter vorgeht?