Eigenvektoren und nilpotenten Matrizen

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die beiden Vektoren v₁, v₂ ∈ ℝ²

$$v _ { 1 } = \left( \begin{array} { l } { 2 } \\ { 3 } \end{array} \right) \quad v _ { 2 } = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 2 } \end{array} \right)$$

1. Geben Sie alle reellen Matrizen A ∈ M_2,2 mit den Eigenvektoren v₁ und v₂ an.

2. Geben Sie alle nilpotenten Matrizen A an. Also alle A, für die gilt: ∃k ∈ ℕ: A^k = 0.

Problem/Ansatz:

Leider scheitere ich gerade an dieser Aufgabe. Es würde mich sehr freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte + einer Erklärung was er gerade berechnet. Vielen Dank im Voraus!

Ich freue mich auf Antworten und einen schönen Abend! :)

Answer 1

eine 2x2 Matrix mit zwei versch. Eigenvektoren ist diagonalisierbar. Damit gilt

M=S*D*S^(-1), wobei S die Matrix bestehend aus den beiden nebeneinander geschriebenen  Eigenvektoren  ist.

D ist eine Diagonalmatrix mit den beliebigen Eigenwerten x und y.

Ich erhalte damit

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B4+x+-+3+y,+-2+x+%2B+2+y%7D,+%7B6+x+-+6+y,+-3+x+%2B+4+y%7D%7D