Berechnen Sie den Konvergenzradius von P(x)

Question

Aufgabe:

Gegeben seien jeweils die Folgen \( \left(a_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) und \( \left(b_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) mit

\( a_{k}=\frac{(-1)^{k}+1}{2^{k}} \quad \text { und } \quad b_{k}=\frac{1}{4^{-k-(-1)^{k}}} . \)

Wir betrachten die Potenzreihen \( P(x)=\sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k} \) und \( \hat{P}(x)=\sum \limits_{k=0}^{\infty} b_{k} x^{k} \) mit jeweils dem Entwicklungspunkt \( x_{0}=0 \).

(a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius von \( P(x) \)

(b) Zeigen Sie, dass \( \hat{P}(x) \) einen Konvergenzradius von \( r=1 / 4 \) besitzt.

(c) Bestimmen sie den Grenzwert von \( P(x) \) und \( \hat{P}(x) \) in Abhängigkeit von \( x \).

Hinweis: \( x^{y^{z}} \) bedeutet \( x^{\left(y^{z}\right)} \) und dies ist nicht gleich \( \left(x^{y}\right)^{z} \)

Problem/Ansatz:

Hi, ich habe leider Schwierigkeit mit dieser Frage. Ich würde mich sehr freuen, wenn jemand mit dem helfen kann. Danke im Voraus

Comments

Hallo

es gibt ja die 2 Methoden Konvergenzradien zu bestimmen, welche hast du benutzt woran scheiterst du?

bk schriebt man besser als 4(k+(-1)k)

Gruß lul

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Hallo,

Danke für die Antwort. Also beide Lösungen sind okay für mich hahaha. Welche ist easy für dich?

L.G Mikmuk ✨

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hallo

versteh ich nicht, was kannst du daran denn nicht? du musst schon sagen, wo du scheiterst, denn nicht ich will ja die HA machen.

lul

Answer 1

\( P(x)=\sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k} \)

\( =\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}+1}{2^{k}}  x^{k} \)

Für ungerades k ist jeder Summand 0, also

\( =\sum \limits_{i=0}^{\infty} \frac{2}{2^{2i}}  x^{2i} \)

\( =\sum \limits_{i=0}^{\infty} \frac{1}{2^{2i-1}}  (x^{2})^i \)

mit Substitution z=x^2 hast du

\( =\sum \limits_{i=0}^{\infty} \frac{1}{2^{2i-1}} z^i \)

also Konvergenzradius für z ist dann

\( \lim \limits_{i \to \infty} \frac{ \frac{1}{2^{2i-1}}}{ \frac{1}{2^{2i+1}}} = 4 \)

Also Konvergenzradius für x ist √4 = 2.