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Meine Reihe lautet:

$$\sum \limits_{n=2}^{\infty} (\frac{1}{n(n-1)})*x^n$$
Nun berechne ich mithilfe des Quotientenkriteriums den Konvergenzradius:

$$\lim\limits_{n\to\infty}|\frac{\frac{1}{(n+1)*(n+1-1)}*x^{n+1}}{\frac{1}{n*(n-1)}*x^n}|\rightarrow |x|*\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n-1}{n+1}\rightarrow |x|*1\rightarrow |x|<1\rightarrow Konvergenzradius\text{  r }=1$$

Wie kann ich nun damit den Wert dieser Reihe $$\sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)3^n}$$ berechnen?

Bin für jede Hilfe dankbar!

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Aloha :)

Der Konvergenzradius stimmt, aber in die Rechnung gehen nur die Koeffizienten ein:$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{1}{n(n-1)}}{\frac{1}{(n+1)n}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n+1)n}{n(n-1)}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n+1}{n-1}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{n+1}\right)=1$$

Insbesondere konvergiert die Potenzreihe für \(x=\frac13\).

Der Grenzwert der Summe beträgt:$$S(x)=\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{n(n-1)}x^n\quad\implies$$$$S''(x)=\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{n(n-1)}\left(x^n\right)''=\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{n(n-1)}\left(nx^{n-1}\right)'=\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{n(n-1)}n(n-1)x^{n-2}$$$$\phantom{S''(x)}=\sum\limits_{n=2}^\infty x^{n-2}=\sum\limits_{n=0}^\infty x^n\stackrel{(|x|<1)}{=}\frac{1}{1-x}\quad\implies$$$$S'(x)=-\ln(1-x)\quad\implies$$$$S(x)=x+(1-x)\ln(1-x)$$

Speziell für \(x=\frac13\) gilt also:$$S\left(\frac13\right)=\frac13+\frac23\ln\frac23=\frac13\left(1+\ln\frac49\right)\approx0,063023\ldots$$

Avatar von 152 k 🚀

Die Formel für den Konvergenzradius lautet

$$r= \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$$

@Mathhilf: Vielen Dank, habe es korrigiert.

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