Wie kann man aus dieser Funktion eine Potenzreihe machen und dann den Konvergenzradius bestimmen?

Question

Aufgabe:

Wie kann ich aus dieser Funktion eine Potenzreihe machen und dann den Konvergenzradius bestimmen?

\(\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x+2} \)

Problem/Ansatz:

ich habe folgende Potenzreihe ermittelt: (-1)*(x-1) * (1/2)*x^n

Aber ich komme damit nicht auf den richtigen Konvergenzradius. Deswegen habe ich wahrscheinlich die Funktionsreihe nicht richtig umgewandelt...

Comments

war leider falsch. sorry

lul

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Was war falsch?

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schon korrigiert.

lul

Answer 1

Hallo

1/(x+2)=1/(1-(-x-1)) damit geometrische Reihe  für -1*(x+1).  Wie du auf deine Reihe kommst? Oder Taylor von 1/(x+2) gibt eine alternierende Reihe-

lul

Answer 2

Aloha :)

$$f(x)=\frac{x\pink{-1}}{x+2}=\frac{(x\pink{+2})\pink{-3}}{x+2}=1-\frac{3}{x+2}=1-3\cdot\frac{1}{1+(x+1)}=1-3\cdot\frac{1}{1-(-x-1)}$$

Jetzt erinnere dich an die geometrische Reihe:$$\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}\quad\text{für }|q|<1$$Wenn wir nun \((q=-x-1)\) setzen und fordern, dass$$|q|<1\implies-1<q<1\implies-1<-x-1<1\stackrel{(+1)}{\implies}0<-x<2\stackrel{\cdot(-1)}{\implies}0>x>-2$$können wir folgende Potenzreihe angeben:$$f(x)=\frac{x-1}{x+2}=1-3\sum\limits_{n=0}^\infty(-x-1)^n=1-3\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n(x+1)^n$$$$\phantom{f(x)}=1+3\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^{n+1}(x+1)^n=1-3+3\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}(x+1)^n$$Damit haben wir also:$$f(x)=-2+3\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}(x+1)^n\quad;\quad x\in(-2;0)$$

Comments

Der Konvergenzradius ist dann (-2;2) oder?

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Nein, der Konvergenzbereich ist \(-2<x<0\).

Der Konvergenzradius ist \(r=1\) um die Stelle \(x_0=-1\) herum, wenn du das so sagen musst.

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Text erkannt:

\( -\frac{1}{2}-\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} 3 x^{n}}{2^{n+1}},(-2,2) \)

Das steht in meinen Lösungen?

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Dafür hättest Du von Folgendem ausgehen müssen

$$f(x)=1-\frac{3}{2}\frac{1}{1-(-0.5x)}$$

Du kannst Dir eine Potenzreihen-Entwicklung um jeden Punkt konstruieren - außer natürlich 2.

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Dann hat dein Lehrer eine andere Umformung gewählt:$$f(x)=\frac{x-1}{x+2}=1-\frac{3}{x+2}=1-\frac32\cdot\frac{1}{\frac x2+1}=1-\frac32\cdot\frac{1}{1-\left(-\frac x2\right)}$$Dann wurde die geometrische Reihe angwendet wie oben beschrieben.

Das Ergebnis ist dann eine Potenzreihe um den Entwicklungspunkt \(x_0=0\).

Oben wurde eine Potenzreihe um den Entwicklungspunkt \(x_0=-1\) angegeben.

Zum Entwicklungspunkt wurde in der Aufgabenstellung keine Angabe gemacht. Daher sollte sich der Lehrer nicht wundern, wenn er verschiedene Lösungen erhält.