Aloha :)
Der Konvergenzradius stimmt, aber in die Rechnung gehen nur die Koeffizienten ein:$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{1}{n(n-1)}}{\frac{1}{(n+1)n}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n+1)n}{n(n-1)}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n+1}{n-1}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{n+1}\right)=1$$
Insbesondere konvergiert die Potenzreihe für \(x=\frac13\).
Der Grenzwert der Summe beträgt:$$S(x)=\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{n(n-1)}x^n\quad\implies$$$$S''(x)=\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{n(n-1)}\left(x^n\right)''=\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{n(n-1)}\left(nx^{n-1}\right)'=\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{n(n-1)}n(n-1)x^{n-2}$$$$\phantom{S''(x)}=\sum\limits_{n=2}^\infty x^{n-2}=\sum\limits_{n=0}^\infty x^n\stackrel{(|x|<1)}{=}\frac{1}{1-x}\quad\implies$$$$S'(x)=-\ln(1-x)\quad\implies$$$$S(x)=x+(1-x)\ln(1-x)$$
Speziell für \(x=\frac13\) gilt also:$$S\left(\frac13\right)=\frac13+\frac23\ln\frac23=\frac13\left(1+\ln\frac49\right)\approx0,063023\ldots$$
