Konvergenzradius und Grenzfunktion

Question

Aufgabe:

hey, ich soll den Konvergenzradius und die Grenzfunktion einer Potenzreihe ermitteln.

als Beispiel hatte ich ∑∞_k=0 kx^k gegeben.

kann mir da jemand weiterhelfen?

Answer 1

Hallo

sieh dir die Ableitung der geometrischen Summe an! dazu zieh ein x aus der Summe

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir gehen von der Summenformel für die unendlche geometrische Reihe aus:$$\sum\limits_{k=0}^\infty x^k=\frac{1}{1-x}\quad;\quad|x|<1$$

Wir leiten nun beide Seiten dieser Gleichung ab. Solange wir uns im Konvergenzradius $|x|<1$ der Potenzreihe bewegen, können wir die Ableitung unter die Wurzel ziehen:$$\frac{d}{dx}\left(\sum\limits_{k=0}^\infty x^k\right)=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{d}{dx}(x^k)=\sum\limits_{k=0}^\infty kx^{k-1}$$Die Ableitung der rechten Seite können wir direkt hinschreiben:$$\sum\limits_{k=0}^\infty kx^{k-1}=\frac{1}{(1-x^2)}$$Die Multiplikation beider Seiten mit $x$ liefert das gesuchte Ergebnis:$$\sum\limits_{k=0}^\infty kx^k=\frac{x}{(1-x)^2}\quad;\quad|x|<1$$