Aloha :)
Wir wollen die Matrix folgende Matrix diagonalisieren:$$A=\left(\begin{array}{rrr}0 & -1 & 1\\-1 & 0 & -1\\1 & -1 & 0\end{array}\right)$$
1) Eigenwerte
Dazu benötigen wir zuerst die Eigenwerte. Diese sind die Lösungen des charakteristischen Polynoms:$$0\stackrel!=\operatorname{det}\left(A-\lambda\cdot\mathbf 1\right)=\left|\begin{array}{rrr}-\lambda & -1 & 1\\-1 & -\lambda & -1\\1 & -1 & -\lambda\end{array}\right|\stackrel{(Z_2=Z_2+Z_3)}{=}\left|\begin{array}{rrr}-\lambda & -1 & 1\\0 & -\lambda-1 & -\lambda-1\\1 & -1 & -\lambda\end{array}\right|$$$$\phantom{0}=\left|\begin{array}{rrr}-\lambda & 1 & -1\\0 & \lambda+1 & \lambda+1\\1 & 1 & \lambda\end{array}\right|=-\lambda\left((\lambda+1)\lambda-(\lambda+1)\right)+(\lambda+1)+(\lambda+1)$$$$\phantom{0}=-\lambda(\lambda+1)(\lambda-1)+2(\lambda+1)=-(\lambda+1)(\lambda^2-\lambda+2)$$$$\phantom{0}=-(\lambda+1)(\lambda-2)(\lambda+1)=-(\lambda+1)^2(\lambda-2)$$Wir finden die Eigenwerte:\(\quad\lambda_1=\lambda_2=-1\quad;\quad\lambda_3=2\).
Die arithmetische Vielfachheit des Eigenwertes \(-1\) ist zwei und die des Eigenwertes \(2\) ist eins.
2) Eigenvektoren
Zu diesen Eigenwerten benötigen wir die Eigenvektoren.
Dazu bestimmen wir den Kern der charakteristischen Matrix für \(\lambda=-1\):$$\begin{array}{rrr|r|l} x & y & z & = &\text{Aktion}\\\hline1 & -1 & 1 & 0 & \\-1 & 1 & -1 & 0 &+\text{Zeile 3}\\1 & -1 & 1 & 0 &-\text{Zeile 1}\\\hline1 & -1 & 1 & 0 & \\0 & 0 & 0 & 0 &\\0 & 0 & 0 & 0 &\end{array}$$Es bleibt eine Bestimmungsgleichng \(y=x+z\) übrig$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\x+z\\z\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$$
und den Kern der charakteristischen Matrix für \(\lambda=2\):$$\begin{array}{rrr|r|l} x & y & z & = &\text{Aktion}\\\hline-2 & -1 & 1 & 0 &+2\cdot\text{Zeile 3}\\-1 & -2 & -1 & 0 &+\text{Zeile 3}\\1 & -1 & -2 & 0 &\\\hline0 & -3 & -3 & 0 &\colon(-3)\\0 & -3 & -3 & 0 &-\text{Zeile 1}\\1 & -1 & -2 & 0 &\\\hline0 & 1 & 1 & 0 &\\0 & 0 & 0 & 0 &\\1 & -1 & -2 & 0 &+\text{Zeile 1}\\\hline0 & 1 & 1 & 0 &\Rightarrow y=-z\\0 & 0 & 0 & 0 &\\1 & 0 & -1 & 0 &\Rightarrow x=z\end{array}$$Als Lösung lesen wir ab:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}z\\-z\\z\end{pmatrix}=z\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$$
Damit haben wir die drei Eigenvektoren:$$\vec v_1=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\vec v_2=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\quad;\quad\vec v_3=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$$
Die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes \(-1\) ist zwei und die des Eigenwertes \(2\) ist eins.
3) Orthonormierung
\(\vec v_1\) und \(\vec v_3\) sind schon orthogonal. Wir müssen noch \(\vec v_2\) orthogonalisieren:
$$\vec v'_2=\vec v_2-\frac{(\vec v_1\cdot\vec v_2)}{\left\|\vec v_1\right\|^2}\cdot\vec v_1-\frac{(\vec v_3\cdot\vec v_2)}{\left\|\vec v_3\right\|^2}\cdot\vec v_3=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}-\frac12\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}-0\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac12\\[0.5ex]\frac12\\[0.5ex]1\end{pmatrix}$$
Damit haben wir die Eigenvektoren orthonormiert:$$\vec w_1=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\vec w_2=\frac{1}{\sqrt6}\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}\quad;\quad\vec w_3=\frac{1}{\sqrt3}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$$
4) Ergebnis
Damit haben wir die gesuchte Transformationsamtrix \(C\) bestimmt:$$C=\left(\begin{array}{rrr}\frac{1}{\sqrt2} & -\frac{1}{\sqrt6} & \frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]\frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt6} & -\frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]0 & \frac{2}{\sqrt6} & \frac{1}{\sqrt3}\end{array}\right)$$und die transformierte Matrix hat die Form:$$A'=C^T\cdot A\cdot C=\left(\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0 & 2\end{array}\right)$$
