Bestimmen Sie α ∈ R so, dass C eine orthogonale Matrix ist.

Question

Aufgabe:

C:= α $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

Bestimmen Sie α ∈ R so, dass C eine orthogonale Matrix ist.

Problem/Ansatz:

Nachdem ich zuerst die Matrix C^T mit C multipliziert habe, habe ich $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ erhalten.

Nun dachte ich, dass α  = $\frac{1}{2}$ ist, jedoch ist das Ergebnis auch falsch...
Laut der Lösung ist α = $\frac{1}{\sqrt{2}}$. Wie komm ich aber darauf?

Answer 1

Die Spalten einer orthogonalen Matrix

müssen Vektoren der Länge 1 sein, also normiert sein.

Der erste Spaltenvektor hat die Länge $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$,

also muss man ihn durch $\sqrt{2}$ teilen, d.h.

mit $1/\sqrt{2}$ multiplizieren. Für die zweite Spalte

gilt das Gleiche.

Comments

Jetzt hab ich's verstanden, vielen Dank!

Answer 2

Du hast gar nicht $C^TC$ gerechnet. Hättest du es gemacht, wärst du auf $\alpha^22I$ gekommen, woraus das richtige $\alpha$ sofort folgt.

Und es gibt auch zwei Lösungen, nicht nur eine.