Wie kommt man von (n^2 + n)/(n^2 + 1) - 1 zum Bruch 2/n ?

Question

Moin Leute

Bei einer Grenzwertaufgabe sollen wir :

(da es ich kein Zeichen für Betrag finde nehme ich mal "[]")

[\( \frac{n^{2}+n}{n^{2}+1} \) -1]

umformen. Raus kommt \( \frac{2}{n} \)

So, allerdings kriege ich die Umformung nicht vollständig hin.

Ansatz:

[\( \frac{n^{2}+n}{n^{2}+1} \) -1]  = [\( \frac{n-1}{n^{2}+1} \)] = [\( \frac{n}{n^{2}+1} \)] + [\( \frac{1}{n^{2}+1} \)]

Laut Lösung soll jetzt als zwischenschritt \( \frac{n}{n^{2}} \) + \( \frac{n}{n^{2}} \).

Leider komme ich mit keinen der versuchten Rechenoperationen da hin.

Wie kommt man von (n^2 + n)/(n^2 + 1) - 1 zum Bruch 2/n ?

Answer 1

$$...= |\frac{n}{n^2+1}|+|\frac{1}{n^2+1}|\leq |\frac{n}{n^2}|+|\frac{1}{n^2}|\leq |\frac{1}{n}|+|\frac{1}{n}| =\frac{2}{n}$$

Comments

Kannstu mir den zweiten Schritt ausführlicher erklären?

---

\( \frac{1}{n^2+1}< \frac{1}{n^2} \)

Desweiteren gilt n<=n^2, also ist \( \frac{1}{n^2}\leq \frac{1}{n} \)

Answer 2

Fragestellung korrekt und vollständig?

(n^2 + n)/(n^2 + 1) - 1        | Geschickt ergänzen

= (n^2 +1 -1 + n)/(n^2 + 1) - 1

= ((n^2 +1) + (-1 + n))/(n^2 + 1) - 1

= ((n^2 +1)/(n^2 + 1)) + ((-1 + n))/(n^2 + 1)) - 1

= 1+ ((-1 + n))/(n^2 + 1)) - 1

= ((-1 + n))/(n^2 + 1)) 
Selbst mit einem Betrag ist das nicht 2/n

Vielleicht soll die Umformung eine Abschätzung sein, wie in der vorhandenen Antwort angenommen?