Es bezeichne{e1, e2, e3} die kanonische Basis des R3....

Question

Aufgabe:

Es bezeichne{e₁, e₂, e₃} die kanonische Basis desR³.

a.)Zeigen Sie: Es gibt genau eine lineare Abbildung f : R³→R³ mit

f(e₁) =e₁+e₂+e₃

f(e₂) =e₁−e₂+e₃

f(e3) =e₂

b.)
Geben Sie die Matrix an, die f darstellt.

c.)

Begründen Sie, warum f nicht invertierbar ist.

d.)
Bestimmen Sie eine Basis von ker f und im f.

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider gar nicht wie ich da ran gehen soll bei der Aufgabe. Hab auch leider keine Unterlagen dazu vielleicht hat jemand einen Link wo raus ich mir die Aufgabe erarbeiten kann. Über Hilfe wäre ich daher sehr dankbar.

Answer 1

a) Zu jedem Basisvektor ist das Bild angegeben. Damit ist f eindeutig bestimmt.

$$ f\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = f( x*e1+y*e2+z*e3)= x*f(e1)+y*f(e2)+z*f(e3) =x*(e1+e2+e3)+y*(e1-e2+e3)+z*e2 = \begin{pmatrix} x+y\\x-y+z\\x+z \end{pmatrix} $$

Also Matrix

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$$

Nicht invertierbar, weil zwei gleiche Zeilen

vorhanden sind.

Im Kern liegen alle Vektoren der Art (t;-t;0)^T,

also eine Basis (1 ; -1 ; 0 )^T

und Basis für das Bild sind z.B. die ersten

beiden Spalten der Matrix.

Comments

Danke für deine Antwort das hilft mir weiter. Darf ich dich fragen ob du dazu eventuell auch einen Link hast, wo ich das alles selber auch nochmal lesen kann damit ich mir das herleiten kann.

LG

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Vielleicht hilft meine Antwort dort:

https://www.mathelounge.de/589505/wie-bestimme-ich-die-matrix-einer-linearen-abbildung-gehort

und die "ähnlichen Fragen"