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Aufgabe 52
Sei \( V=\mathbb{R}^{3} \) und \( B=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right) \) seine kanonische Basis.
(i) Zeigen Sie, dass die Vektoren \( u_{1}=(2,-1,-2)^{t}, u_{2}=(1,0,-1)^{t} \) und \( u_{3}= \) \( (-2,1,3)^{t} \) eine Basis \( B^{\prime} \) von \( \mathbb{R}^{3} \) bilden.
(ii) Sei \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) die lineare Abbildung, deren Matrix in der kanonischen Basis schreibt
\( A=\left(\begin{array}{ccc} 9 & -6 & 10 \\ -5 & 2 & -5 \\ -12 & 6 & -13 \end{array}\right) \)
Bestimmen Sie die Transformationsmatrizen \( P: B \rightarrow B^{\prime} \) und \( Q: B^{\prime} \rightarrow B \).
Verifizieren Sie, dass \( P=Q^{-1} \) (oder \( Q=P^{-1} \) ).
(iii) Sei \( C \) die Matrix, die \( f \) in \( B^{\prime} \) darstellt. Bestimmen Sie \( C \), und verifizieren
Sie, dass
\( C=P A Q, \quad A=Q C P \)
