Seien K := ℝ, V : =ℝ3 und e1:=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3 :=(0,0,1).

Question

Aufgabe:

Stets seien K ein Körper, V ein endlich erzeugter K-Vektorraum, δ ∈ Aut(K) und f eine φ-Bilinearform.

Seien K := ℝ, V : =ℝ³  und e₁:=(1,0,0), e₂=(0,1,0), e₃ :=(0,0,1). Weiter sei φ∈ End_ℝ(V) gegeben durch folgende Bilder:

e₁^φ = e_2, e₂^φ = e₃ und e₃^φ =e_1.

Zeigen Sie, dass 1 ein Eigenwert für φ ist, und finden Sie eine ℝ-Basis für den Eigenraum U zu 1 in V.

Answer 1

Matrix ist M =  0    0    1;
                       1    0    0
                        0    1    0

Und det ( M -x*E) = 1-x^3 hat Nullstelle 1, also

1 Eigenwert und für die Basis bestimme Lösungsraum

von  (M - E)*x    =  0

gibt  mit Gauss    1     0    -1
                             0    1    -1
                             0     0    0

also  x = (  t ; t ; t )^T eine Basis also etwa (1;1;1)^T

Comments

Danke dir.

Vielleicht kannst du mir hier auch noch helfen.

Erklären Sie kurz, inwiefern φ anschaulich eine Drehung des Koordinatensystems ist. Dabei kann der Eigenraum U aus der Aufgabe oben als Drehachse interpretiert werden. Was ist der Drehwinkel und Richtung?

Danke

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Der Eigenraum besteht aus allen Punkten mit drei gleichen

Koordinaten. Das entspricht einer Geraden durch den Ursprung mit dem

 Richtungsvektor (1;1;1)^T .

Die Punkte auf dieser Geraden bleiben alle fest, das ist also die Drehachse.

Dazu senkrecht ist z.B. der Vektor (1 ; 0 ; -1)^T .

Dessen Bild ist   (-1 ; 1 ; 0)^T .  Der Winkel zwischen den beiden ist α mit

cos(α) = (  (1 ; 0 ; -1)^T *  (-1 ; 1 ; 0)^T )  / ( ( 1 ; 0 ; -1)||*|| (-1 ; 1 ; 0)|| )

           = -1 / (√2 * √2 )  = -1/2  .

Also Drehung um 120° gegen den Uhrzeigersinn.

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Hab dazu noch zwei Fragen. Vielleicht kannst du mir da auch helfen.

Seien f das Standardskalarprodukt auf V, v₀  :=(1,-1,0) und s_vo die Spiegelung zu v₀ bezüglich f. Bestimmen Sie die Bilder von e_1, e₂, und e₃ unter s_vo!

Zeigen Sie, dass φ als Hintereinanderausführung zweier Spiegelungen geschrieben werden kann.

Danke.

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könntet ihr mir bitte weiterhelfen.

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Bestimmen Sie die Bilder von e1, e2, und e3 unter svo!

Bild von e1 ist  ( 0;-1;0)^T

Kannst du z.B. bestimmen durch

Mittelpunkt von (1;0;0) und seinem Bild (a;b;c)

muss auf der Geraden durch (0;0;0) und (1,-1,0) liegen.

Und ||(a;b;c)|| = 1

Also  (1+a;b;0)/2 = x*(1,-1,0)

          und a^2 + b^2 + c^2 = 0

==>   x=1/2  .

Entsprechend Bild von e2 ist  ( -1;0;0)^T  .

und Bild von e3 ist  ( 0;0;-1)^T  .