Aufgabe: Beweis mit Dreieck

Question

Aufgabe:

Zeichnen Sie ein beliebiges Dreieck Δ ABC. Konstruieren sie auf AB– einen Punkt D so, dass AD ≅ ACund auf BA– einen Punkt E so, dass BE ≅ BC. Beweisen Sie, dass dann
gilt:

∠(DCE) = 90º - γ/2 , wobei  γ= ∠(ACB)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht wie ich hier beweisen kann. Muss ich mit Kongruenzsätzen arbeiten oder mit Winkelsätzen oder gibt es eine andere Herangehensweise?

Answer 1

mache Dir eine Zeichnung und trage alles ein, was gegeben ist ...

Die Dreiecke \(\triangle DCA\) und \(\triangle CEB\) sind gleichschenklig. Ihre Basiswinkel sind daher paarweise gleich (rot und gelb markiert). Berechne den blauen Winkel \(\angle ECD\) in Abhängigkeit der erwähnten Basiswinkel und \(\gamma\). Und die Basiswinkel selbst sind nur von \(\alpha\) und \(\beta\) abhängig.

Tipp: Winkelsumme im Dreieck \(=180°\); mehr brauchst Du nicht.

Comments

Müssen die Punkte D und E innerhalb der Strecke AB sein? Ich hätte die Aufgabe so verstanden, dass man AB auf beiden Seiten verlängert und der Punkt D dann links von A mit dem Abstand AC ist.

---

Das geht aus der Aufgabe nicht klar hervor! Aus der Beschreibung "Konstruieren sie auf AB einen Punkt D ... und auf BA ..." schloß ich, dass \(D\) in Richtung \(\vec{AB}\) (von \(A\) aus) liegen soll und \(E\) in Richtung \(\vec{BA}\) (von \(B\) aus) liegt.

Die Bezeichnung des Winkels \(\angle DCE\) (statt \(\angle ECD\)) weißt aber darauf hin, dass die außen liegenden Punkte gemeint sind.

Das Vorgehen beim Beweis ändern sich aber nicht. Aber man sollte die Aufgabenstellung eindeutig fomulieren. In dem Fall wäre auch $$\angle DCE = 90° + \frac 12 \gamma$$ und in dem Fall, der in der Antwort beschrieben ist (s.o.), ist $$\angle ECD = 90° - \frac 12 \gamma$$