Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A.

a)  A= \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} \)

b)  A=  \( \begin{pmatrix} 6 & -5 & -3 \\ 3 & -2 & -2 \\ 2 & -2 & 0\end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe nun folgendes bei a) gemacht

\( \begin{pmatrix} 0-λ & 1 \\ -2 & -3- λ \end{pmatrix} \) = -λ*(-3λ-λ)-1*-2 = λ²+3λ+2

λ₁=-2  λ₂=-1

(A-λ₁*E)v=0

\( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} \)  - \( \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \)  = \( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \)

Jetzt kann ich ein Gleichungssystem aufstellen

 2+1=0

-2-1=0

dadurch erhalte ich für

x₁=- \( \frac{1}{2} \) *x₂

x₂₌ x₂

So kann ich also denn Vektor (- \( \frac{1}{2} \) *x_{2 ,} x₂ )_.

Dasselbe mache ich für λ₂=-1

Somit komm ich da dann auf denn Vektor (-x₂,x₂)

1. Frage hab ich somit a) komplett gelöst? Ich würde sagen ja, da meine Lamba ja die Eigenwerte sind und ich mit diesen dann die dazu gehörigen Eigenvektoren bestimmt habe und ich hab meine Lösung ja allgemein gehalten und somit gilt sie ja für alle. Oder?

2. Frage bei b) muss ich ja die selben Schritte machen aber ich verrechne mich andauernd das nur quatsch raus kommt könnte mir das jemand mal mit Schritt für Schritt zeigen damit ich da meinen Fehler finden kann.

Comments

Ich vermute ich mache schon einen fehler bei der Polynomdivision

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Hi noxa,

was hast Du denn als charakteristisches Polynom raus?

Answer 1

Eigenwerte:

Wir multiplizieren eine Matrix \(A\) mit einem Vektor \(\vec{x}\) und erhalten als Ergebnis das \(\lambda\)-fache vom Vektor \(\vec{x}\):$$A\cdot \vec{x}=\lambda \cdot \vec{x}$$ Ausgeschrieben ist das:$$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}=\lambda \cdot \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}$$ Das schreiben wir um in ein Lineares Gleichungssystem:

I. \(y=\lambda\cdot x\)

II. \(-2x-3y=\lambda \cdot y\)

Alle Glieder auf eine Seite bringen:

I. \(-\lambda\cdot x+y=0\)

II. \(-2x+(-3-\lambda)\cdot y=0\)

Berechne nun die Determinante:$$\chi_A(\lambda)=\begin{vmatrix} -\lambda & 1 \\ -2 & -3-\lambda \end{vmatrix}$$$$\chi_A(\lambda)=\begin{vmatrix} -\lambda & 1 \\ -2 & -3-\lambda \end{vmatrix}$$Daraus folgt:$$\chi_A(\lambda)=\lambda^2+3\lambda+2$$ Du kannst nun mit Hilfe des Satzes von Vieta schnell erkennen, dass \(\chi_A(\lambda)=(\lambda+1)(\lambda+2)\) ist und die Lösungen demnach \(\lambda_1=-1\) \(\vee\) \(\lambda_2=-2\)

Eigenvektoren:

Der zu einem Eigenwert \(\lambda_i\) gehörende Eigenvektor ist definiert durch \((A-\lambda_iE)x_i=0\). Das heißt:$$\left[\begin{pmatrix} 0-(-\lambda_1) & 1 \\ -2 & -3-(-\lambda_2) \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}{}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Das ist ein Lineares Gleichungssystem, das Du ganz leicht lösen kannst.

b)

Ich vermute ich mache schon einen fehler bei der Polynomdivision

Das charakteristische Polynom heißt: \(\colorbox{#FFAAAA}{-}\lambda^3+4\lambda^2-5\lambda+2\) - hier hattest Du wohl einen Vorzeichenfehler.

Polynomdivison:

Teilermenge das Absolutglieds \(T_2=\{\pm 1;\pm 2\}\). Eine Lösung ist \(\lambda_1=1\).

\((-\lambda^3+4\lambda^2-5\lambda+2):(\lambda-1)=\lambda^2+5\lambda+2\)

\(-(\lambda^3+\lambda^2)\)
----------------------------------
  \(5\lambda^2-3\lambda\)
      \(-(5\lambda^2-5\lambda)\)
--------------------------------------------
              \(2\lambda+2\)
                \(-(2\lambda+2)\)
             
Wie man eine quadratische Gleichung löst, weißst Du ja warhscheinlich.

Comments

Danke erstmal für deine Antwort allerdings bin ich gerade etwas überfpordert was du da noch machst ich dachte ich wäre schon fertig! Oder ist das was ich gemacht habe totaler Unsinn von der Aufgabenstellung her?

Ja würde mich über Hilfe für die Aufgabe b freuen.

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Du hast die Eigenwerte richtig bestimmt. Ich werde die Eigenvektoren meiner Antwort ergänzen. Und kannst Du mir sagen wie weit du bei der b) gekommen bist?

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Ah okay also hab ich nur denn ersten Teil gemacht alles klar danke. ich dachte die Vektoren die ich aufgestellt habe sind die Eigenvektoren!

Bei b) bin ich leider nicht so weit gekommen

Ich hab folgende Matrix \( \begin{pmatrix} 6-λ & -5 & -3 \\ 3 & -2-λ & -2 \\ 2 & -2 & 0-λ \end{pmatrix} \) = λ³+4*λ²-5*λ+2

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Und ich hab ja Lambda1 und 2 in a) schon raus und ich dachte das ich meine Eigenvektoren schon bestimmt habe für die jeweiligen Lambda. das Porblem ist ich bekomm sie nicht so schön dargestellt hier weil es in dem einen Vektoir einen Bruch gibt. ich hab deshlb hier noch mal ein Bild was ich für die Eigenvektoren halte!

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Ich habe meine Antwort ergänzt. Du hattest bei deinem charakteristischen Polynom einen Vorzeichenfehler beim Leitkoeffizient.

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noxa, das ist sehr aufwendig. Stelle bitte die b) als separate Frage ein.

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Ich hab dir nochmal meinen Rechenweg für Eigenvektoren weil cih versteh nicht ganz warum du beide Lambda in eine Rechnung packst.

Sprich ich mache was ähnliches wie du aber ich mache es nur mit Lambda 1 und dann noch mal seperat für Lambda 2

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Du hast recht. Du suchst dir einen deiner Eigenwerte aus und löst das LGS.

x+y=0

-2x-2y=0

Du erhältst deine Ergebnisse.

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Also ist dann Aufgabe a) vollständig gelöst?

Dann kann ich dank dir jetzt weiter rechnen da ich dank dir ja nun die quadratische Gleichung habe.

Vielen Dank

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Genau. Die Aufgabe a) ist fertig...

Weiterhin viel Glück.