Antwort mit KI erzeugt
Aufgabe 1: Zeigen, dass \(\lim_{n \to \infty} \frac{n^k}{b^n} = 0\) für \(k \in \mathbb{N}\) und \(b > 1\)
Um diese Aufgabe zu lösen, betrachten wir die Folge \(a_n = \frac{n^k}{b^n}\) und zeigen, dass sie eine Nullfolge ist. Dazu verwenden wir den gegebenen Hinweis und berechnen das Verhältnis \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) für fast alle \(n\).
\(
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)^k}{b^{n+1}}}{\frac{n^k}{b^n}} = \frac{(n+1)^k \cdot b^n}{n^k \cdot b^{n+1}} = \frac{(n+1)^k}{n^k \cdot b}
\)
Vereinfachen wir weiter, erhalten wir:
\(
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^k \cdot \frac{1}{b} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^k \cdot \frac{1}{b}
\)
Für große \(n\) nähert sich \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^k\) immer mehr 1 an, und da \(b > 1\), erhalten wir, dass das Produkt \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^k \cdot \frac{1}{b}\) kleiner als 1 wird für genügend große \(n\). So konvergiert \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) gegen eine Zahl \(0 \leq C < 1\), und nach dem gegebenen Hinweis ist \((a_n)\) eine Nullfolge. Das beweist, dass \(\lim_{n \to \infty} \frac{n^k}{b^n} = 0\).
Aufgabe 2: Zeigen, dass \(\lim_{n \to \infty} \frac{b^n}{n!} = 0\)
In diesem Fall betrachten wir die Folge \(a_n = \frac{b^n}{n!}\) und berechnen wieder das Verhältnis \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\).
\(
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{b^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{b^n}{n!}} = \frac{b^{n+1} \cdot n!}{b^n \cdot (n+1)!} = \frac{b}{n+1}
\)
Es ist leicht zu sehen, dass \(\frac{b}{n+1}\) gegen 0 strebt, wenn \(n\) gegen Unendlich geht. Das bedeutet, für genügend große \(n\), ist \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) immer kleiner als eine Konstante \(C < 1\), was impliziert, dass die Folge \((a_n)\) eine Nullfolge ist. Daher ist \(\lim_{n \to \infty} \frac{b^n}{n!} = 0\).
Zusammenfassend haben wir gezeigt, dass Potenzen von \(n\) (Polynome) langsamer wachsen als exponentielle Funktionen und dass exponentielle Funktionen langsamer wachsen als die Fakultätsfunktion, indem wir die Eigenschaften von Grenzwerten von Quotienten aufeinanderfolgender Glieder von Folgen genutzt haben.
