Matrix potenzieren. Gegeben sei die Matrix ((4,3),(1,2)) ∈ R^(2x2). Berechnen Sie A^100

Question

Gegeben sei die Matrix

4 3
1 2 ∈ R^2x2
.
Berechnen Sie A¹⁰⁰auf folgende Weise: Bestimmen Sie eine Diagonalmatrix B mit A =
P^-1BP. Bestimmen Sie B¹⁰⁰ und anschließend A¹⁰⁰
.
Anmerkung: Die Dezimalzifferndarstellung von A¹⁰⁰ braucht nicht bestimmt werden.

Wie kann man am besten diese Aufgabe lösen?

Answer 1

Eigenwerte bestimmen gibt 5 und 1, also gibt es

ein P aus GL(2,ℝ) mit  A = P^(-1)BP.

und B =

5  0
0  1

Dann ist also B^(100) =

5^(100)   0
   0           1.

Und wenn du Potenzen von A bestimmst siehst du

A^2 = P^(-1)BP*P^(-1)BP = P^(-1) B^2 P

A^3 = P^(-1)BP*P^(-1)BP *P^(-1)BP= P^(-1) B^3 P

also ist  A^(100) = P^(-1) B^(100) P

Also brauchst du nur noch P^(1) und P zu bestimmen, wie

das bei der Diagonalisierung gemacht wird.