1. Einführung
Auch Dezimalzahlen mit Komma (z. B. \(4.2\)) können in das Binärsystem überführt werden. Dabei kann es zu dem interessanten Umstand kommen, dass eine Zahl mit endlich vielen
Nachkommastellen (z. B. \(0.3\)) im Binärsystem eine unendlich lange periodische Zahl darstellt.
2. Algorithmus
Eingabe: Zahl \(p\) mit Komma im Dezimalsystem
Ausgabe: Zahl mit Komma im Binärsystem
1. Berechne die Stellen vor dem Komma durch den Algorithmus Dezimal in Binär umrechnen.
2. Notiere (nur) die Nachkommastellen, also z. B. \(0.3\) für \(42.3\).
3. Multipliziere die Nachkommastelle mit \(2\).
4. Wiederhole Schritt 4 so lange, bis nach der Subtraktion entweder als Ergebnis \(0\) herauskommt oder nach endlich vielen Schritten eine Periodizität (z. B. \(0.010011001100110011001...\) erkennbar ist.
5. Lies das Ergebnis ab. Das machst du durch Hintereinanderschreiben der Einsen (falls das Ergebnis größer als oder gleich \(1\) war und eine Subtraktion stattgefunden hat) und Nullen (falls das Ergebnis kleiner als \(1\) war und keine Subtraktion stattgefunden). Anders als bei den Vorkommastellen, liest du die Werte von „oben“ nach „unten“ ab.
Beispiel 1:
Gesucht ist die Darstellung der Dezimalzahl \(3.5\) im Binärsystem. Für die Stellen vor dem Komma verwendest du standardmäßig den Algorithmus Dezimal in Binär umrechnen.
\(3\div 2 = 1\text{ R: }1\)
\(1\div 2 = 0\text{ R: }1\)
Die Stelle vor dem Komma lautet also \(11\).
Für die Stellen nach dem Komma betrachtest du den Ausdruck \(0.5\) und gehst wie oben beschrieben vor:
\(0.5\cdot 2 = 1\mid -1\)
\(0\cdot 2 = 0\mid\pm 0\)
\(...\)
Es gibt offenbar nur eine Stelle hinter dem Komma, nämlich die \(1\). Zusammengesetzt lautet das Ergebnis also:
\(11.1\)
Beispiel 2:
Gesucht ist die Darstellung der Dezimalzahl \(3.3\) im Binärsystem. Es kann durchaus passieren, dass niemals der Wert \(0\) durch Subtraktion der \(1\) entstehen kann. In diesem Fall liegen periodische Nachkommastellen vor. Dies trifft z. B. auf die \(3.3\) zu. Hier werden nur die Nachkommastellen betrachtet, da die Vorkommastellen bereits in dem vorangegangenen Beispiel berechnet wurden:
\(0.3\cdot 2=0.6\mid\pm 0\)
\(0.6\cdot 2=1.2\mid-1\)
\(0.2\cdot 2=0.4\mid\pm 0\)
\(0.4\cdot 2=0.8\mid\pm 0\)
\(0.8\cdot 2=1.6\mid-1\)
\(0.6\cdot 2=1.2\mid-1\)
In der letzten Zeile kannst du sehen, dass sich der Zyklus ab dem Ergebnis \(1.2\) (zweite Zeile) nun ab der sechsten Zeile wiederholt. Dies setzt sich periodisch bis ins Unendliche fort. Die
Nachkommastellen sind also:
\(0.0\overline{1001}\)
Wichtig: Die Nachkommastellen werden von „oben“ nach „unten“ abgelesen. Das Endergebnis lautet demzufolge \(11.0\overline{1001}\).
4. Dezimal zu Binär Rechner mit Komma
Ich habe hier ein Tool zur Verfügung gestellt, mit dem du dir eine Schritt-für-Schritt-Lösung für die Berechnung von Dezimal- in Binärzahl mit Komma generieren lassen kannst. Der Rechner ist übrigens in der Lage die Periodizität zu bestimmen und darzustellen.
Dieser Artikel hat 50 Bonuspunkte erhalten. Schreib auch du einen Artikel.
