Lgs und dimension des lösungsraumes

Question

Aufgabe:

ax + y + z = a-1

x +ay + z = 0

2x +y + z = 0

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand helfen ich soll das LGS lösen und die Dimensionen des lösungsraumes in Abhängigkeit von a€ R  angeben.

Und b ) für unterschiedliche Fälle eine Basis des lösungsraumes angeben

Answer 1

Für a=1 hast du ein homogenes System, gibt mit Gauss:

2   1   1  0
0  1   1   0
0   0  0   0

Lösungen also

( 0 ; t ; - t ) = t* ( 0 ; 1 ; -1 )

Lösungsraum eindimensional mit

Basis z.B.   ( 0 ; 1 ; -1).

Für a=2 liefert Gauss:

3  0   1  0
0  3   1  0
0  0   0   1

also Lösungsmenge = ∅.

Ansonsten :

1      0       0    (a-1)/(a-2)
0      1       0        1/ (a-2)
0      0       1      (1 -2a)/(a-2)

==> Lösungsmenge = { (a-1)/(a-2)0    ;     1/ (a-2)0    ;      (1 -2a)/(a-2) }

also - wenn du so willst - ein 0-dimensionaler affiner Raum

Comments

Das mit den lõsungsmengen verstehe ich ich versteh e nur nicht wie die Berechnung Funktioniert. Also wie komme ich von

a 1 1 a-1

1 a 1 0

2 1 1 0

Auf

2 1 1 0

0 1 1 0

0 0 0 1

Komme

---

Das war ja der Fall a= 1.

Also hast du statt

a 1 1 a-1

1 a 1 0

2 1 1 0

jetzt

1 1 1 0
1 1 1 0
2 1 1 0

und zweite minus erste und

3. minus erste gibt

1 1 1 0
0 0 0 0
1 0 0 0

also Lösungen ( 0;t;-t).

---

Ahh vielen dank :)

Answer 2

Lösungen (nach Methode der Wahl):

x=(a-1)/(a-2);  y=1/(a-2);  z=(1-2a)/(a-2)

Vielleicht hilft das etwas weiter?

Comments

Sicher, dass das auch für a=1 gilt ?