inhomogenes LGS | Lösungsmenge bestimmen und Dimension des Nullraums der Matrix A

Question

Gegeben:

\( \begin{aligned} x-4 y+3 z &=-3 \\ 2 x-6 y+2 z &=-2 \\-3 x+11 y-7 z &=7 \end{aligned} \)

Lösung nach Gauß:

Dieses LGS hat die einparametrische Lösungsschar \( x_{3}=\alpha, x_{2}=2+2 \alpha, x_{1}=5+5 \alpha \). Also lassen sich alle Lösungen darstellen als

\( \left(\begin{array}{l}5 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)+\alpha \cdot\left(\begin{array}{l}5 \\ 2 \\ 1\end{array}\right) \)

Nun die eigentliche Frage:

1: Wie groß ist der Rang der Koeffizientenmatrix A?
2: Welche Dimension hat der Nullraum der Matrix A? Geben Sie eine Basis des Nullraums der Matrix A an.

Der Rang der Koeffizientenmatrix ist: Rg(A) = 2  (nach dem Gauß kommt es zu einem Dimensionsverlust)

Wie beantworte ich nun die Frage 2? Eine kurze Erläuterung wäre sehr hilfreich.

Danke sehr :)

Answer 1

Aloha :)

Am besten verwendest du hier den Bild-Kern-Algorithmus. Dazu schreibst du die Matrix hin und direkt daneben eine Einheitsmatrix mit so vielen Spalten wie die Matrix hat. Dann bringst du die Matrix durch elementare Spaltenumformungen auf Dreieckform und wiederholst diese Schritte an der Einheitsmatrix:

$$\begin{array}{rrr|c|rrr} & +4S_1 & -3S_1 && & +4S_1 & -3S_1\\\hline1 & -4 & 3 && 1 & 0 & 0\\2 & -6 & 2 && 0 & 1 & 0\\-3 & 11 & -7 && 0 & 0 & 1\end{array}$$$$\begin{array}{rrr|c|rrr} -S_2 & & +2S_2 && -S_2 & & +2S_2 \\\hline1 & 0 & 0 && 1 & 4 & -3\\2 & 2 & -4 && 0 & 1 & 0\\-3 & -1 & 2 && 0 & 0 & 1\end{array}$$$$\begin{array}{rrr|c|rrr} \vec b_1 & \vec b_2 & &&  & & \vec k_1 \\\hline1 & 0 & 0 && -3 & 4 & 5\\0 & 2 & 0 && -1 & 1 & 2\\-2 & -1 & 0 && 0 & 0 & 1\end{array}$$

Wir finden also zwei Basisvektoren für das Bild und einen Basisvektor für den Kern:

$$\text{Bild}(A)=\left(\,\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}\,,\,\begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix}\,\right)\quad;\quad\text{Kern}(A)=\begin{pmatrix}5\\2\\1\end{pmatrix}$$Der Rang der Koeffizientenmatrix ist also \(2\). Die Dimension des Nullraums ist \(1\).

Comments

Okay verständlich bloß eine Frage hätte ich noch:

Wie genau weiß ich was davon mein Basisvektor ist und was davon mein Kern

Könnte nicht auch

-3 ; -1; 0 ein Vektor(Kern) sein?

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Die Basisvektoren des Bildes sind die von null verschiedenen Spalten aus der ursprünglichen Matrix. Die Basisvektoren des Kerns sind die zu den Nullspalten der ursprünglichen Matrix korrespondierenden Spalten der Einheitsmatrix.

In der Rechnung sind die ersten beiden Spalten der Ursrungsmatrix ungleich null, also eine Basis des Bildes. Die dritte Spalte ist eine Nullspalte. Jetzt schaust du in die dritte Spalte der ehemaligen Einheitsmatrix und findest dort die Basis des Kerns.

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Super vielen dank !