Bestimmen Sie ein inhomogenes lineares Gleichungssystem Av=w mit Lösungsmenge E1

Question

ich habe eine Frage zu den affinen Räumen die ich leider komplett gar nicht verstehe. Da wir das am Ende des Semester gemacht haben, haben wir dazu auch keine Übungen mehr.

Gegeben sind zwei Ebenen im affinen Raum R³.

E1=(0,2,0)+⟨(-1,2,1),(-1,2,-1)⟩=(0,2,0)+4

E2={(x,y,z) ∈ℝ³:-x+3y+3z=3 } daraus kann ich ja auch die Matrix ((-1,0,0),(0,3,0),(0,0,3))*(x,y,z)=3 ableiten.

1. Bestimmen Sie ein inhomogenes lineares Gleichungssystem Av=w mit Lösungsmenge E1

2. Sei E= E1 ∩ E2. Bestimmen Sie einen Vektor p und einen Unterraum U mit E=p+U und geben Sie eine affine Basis B von E an.

Kann mir jemand erklären wie man das hier macht? Ich habe wie gesagt überhaupt keine Ahnung und es wäre echt toll wenn mir jemand weiterhelfen kann oder erklären wie ich hier vorgehen muss.

Answer 1

Hallo

1.  irgendwas musst du falsch abgeschrieben haben, E1 ist keine ebene, zu einem Vektor kann man keine Zahl addieren?

das GS aufzustellen, wenn man die Ebene wirklich hat, kann ja nicht so schwer sein?

Matrix * Vektor ergibt wieder einen Vektor, du schreibst Matrix* Vektor =Zahl, das kannst du wohl nicht meinen?

2. ist ja eine Gerade, die den Unterraum von R^3 also einen Vektor + einen Punkt enthält, um den die Gerade gegenüber dem 0 Punkt verschoben ist. wie du eine Basis findest lies nach in

https://de.wikipedia.org/wiki/Affine_Koordinaten

Gruß lul

Comments

Also die Ebene 1 lautet gemäß meiner Aufgabe E1=(0,2,0)+⟨(-1,2,1),(-1,2,-1)⟩. Wie mache ich dann damit weiter?

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Hallo

 schreibt ihr das Skalarprodukt als <a,b>? dann kann das keine Darstellung einer Ebene sein?

Sinn würde machen wenn <a,b> der Span von a und b ist. wie also wird das bei euch verwendet.

ich vermute mal E1: (0,2,0)+r*(-1,2,1)+s*(-1,2,-1)

kannst du daraus das GS machen?

Gruß lul

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Ah ok dann habe ich das zu E1 falsch verstanden und damit ist der Span gemeint.

Es soll gelten Av=w.

Generell gilt f(x)=Bx+b mit der Matrix B=((-1,-1),(2,2),(1,-1)) und x=(s,t) und b=(0,2,0).

Da aber nun Av=w gelten soll definiere ich A = B und v=x und w=(0,-2,0).

Stimmt das dann so?

Zu E2 habe ich jetzt versucht was aus dem Ausdruck zu machen. Es gilt im affinen Raum f(x)=Ax+b

die Gleichung -x+3y+3z=3 habe ich umgeformt zu

z=1+1/3x-y daraus erkenne ich jetzt ja schon dass das b=1 sein muss, weil ich sonst keinen affinen Raum habe.

Nun habe ich die Matrix A=((1/3,0),(0,-1),(0,0)) oder?

Aber leider weiß ich jetzt immer noch nicht, wie ich das mit der Basis machen soll