Aus einer Probeklausur zur Angabe einer Basis. Affiner Unterraum

Question

Huhu,

ich benötige eine Erklärung zur folgenden Aufgabe mit der Musterlösung.

Aufgabe:

Gegeben sei das folgende LGS über ℝ:

$$x_1\,+\,x_2\,+\,3x_3\,+\,3x_4\,=\,3\\x_1\,-\,x_2\,+\,x_3\,+\,x_4\,=\,1\\x_1\,-\,2x_2\,=\,0$$

Wir wissen, dass die Lösungsmenge des LGS ein affiner Unterraum des ℝ⁴ ist, also die Form v + U für ein v ∈ ℝ⁴ und einen Unterraum U von ℝ⁴ hat. Geben Sie ein geeignetes v und eine Basis von U an.

Musterlösung:

$$Eine\:mögliche\:Basis\:\mathcal{B}\:von \:U\:und\:eine\:Wahl\:für\:v\:wären:\\\mathcal{B}\,=\,\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} -2\\-1\\1\\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -2\\-1\\0\\1 \end{pmatrix} \end{pmatrix} \;und\;v\,=\,\begin{pmatrix} 2\\1\\0\\0 \end{pmatrix}.$$

Ich weiß leider nicht wie ich zu dieser Musterlösung komme. Kann mir hier jemand mit Erklärungen helfen?

Beste Grüße und vielen Dank
Cellrok

Answer 1

a + b + 3·c + 3·d = 3
a - b + c + d = 1
a - 2·b = 0

I - 3II ; III

4·b - 2·a = 0
a - 2·b = 0

Hier kann man eine Gleichung streichen da sie linear abhängig sind.

b = b --> Ein möglicher Freiheitsgrad

c = c --> Ein möglicher Freiheitsgrad

a - 2·b = 0 --> a = 2·b

(2·b) - b + c + d = 1 --> d = -b - c + 1

Damit erhält man die Lösung

[2·b, b, c, -b - c + 1] = [0, 0, 0, 1] + b[2, 1, 0, -1] + c[0, 0, 1, -1]

Comments

Also man zieht das dreifache der zweiten Gleichung von der ersten ab und dann bleibt 

4b - 2a = 0 

a - 2b = 0 

Und diese zwei Gleichungen sind linear abhängig, da   a-2b = 0   mit -2 multipliziert 4b - 2a = 0 ergeben würde. 

Aber was bedeutet b = b wäre ein möglicher Freiheitsgrad? 

Und warm setze ich mein ermitteltes a  = 2b denn jetzt wieder in II ein? 

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Ein Freiheitsgrad bedeutet diese Variable habe ich dazu auserkoren, dass ich sie frei bestimmen kann. Damit taucht diese Variable dann auch in der Lösung auf. 

Du darfst nachher in der Lösung nur noch deine Freiheitsgrade haben und keine anderen Unbekannten mehr.

Weil a von b abhängig war muss ich also a durch den Term in Abhängigkeit von b ersetzen.

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Alles klar, verstanden.  

Jetzt bleibt für mich nur noch die Frage, warum die Musterlösung von Cellrok so anders aussieht als diese? 

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Hattest du mal eine Ebene in Parameterform in der analytischen Geometrie ?

Zwei Parameterformen können total verschieden aussehen und trotzdem die Gleiche menge abbilden.

Man kann meine Lösung auch in die andere umformen. Das kannst du ja mal machen.

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Oh ja, ich sehe es.  

Answer 2

Sei L der Lösungsraum von Ax = b. Es gilt dass L ein affiner Unterraum ist, und zwar $$L=x_p+\ker A$$ wobei x_p ∈ ℝ⁴ eine partikuläre Lösung von Ax = b und ker A den Lösungsraum von Ax = 0 bezeichnet.