Geometrische Interpretation für Matrizen

Question

Aufgabe:

Ich soll geometrische Interpretationen für die durch folgende Matrizen definierten linearen Abbildungen der Punkte der Euklid'schen Ebene auf sich selbst finden.

Das sind z.B. diese:

(i) \( \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \)

(ii) \( \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)

(iii) \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)

und noch viele andere.

Problem/Ansatz:

Ist damit gemeint, dass ich das mit Hilfe eines Koordinatensystems darstellen soll oder geht es um Abbildung, Projektion usw.

Answer 1

Wenn du weisst, dass in den Spalten der Abbildungsmatrix die Bilder der Einheitsvektoren (hier: (1,0) und (0,1) ) stehen und ein paar Eingeschaften dieser Abbildungen kennst, genügt das um hier zu sagen:

(i) Zentrische Streckung mit Streckfaktor q=3 und Streckzentrum Z(0,0)

(ii) Drehung um 90° um den Punkt P(0,0).

(iii) Spiegelung an der Winkelhalbierenden des ersten (und dritten) Quadranten.

Die Bildvektoren der Einheitsvektoren kannst du recht schnell im Koordinatensystem einzeichnen und damit dann die Beschreibung der Abbildung illustrieren.

Comments

Bitte schaue auf mein letzten Kommentar. Dort habe ich mein Problem beschrieben. Wir meinen glaube ich dasselbe. Ich komme noch nicht ganz drauf.

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((3,0),(0,3)) * (1,0) = (3,0)

((3,0),(0,3)) * (0,1) = (0,3)

Nun einfach die blauen Vektoren einzeichnen. Dann ist die Streckung schon klar zu sehen, wenn du (theoretisch) weisst, dass eine Streckung eine mögliche Abbildung ist.

Sehr schnell geht als Ergänzung auch

((3,0),(0,3)) * (0,0) = (0,0)

und

((3,0),(0,3)) * (1,1) = (3,3)

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Achso, jetzt ist der Groschen gefallen. Das hatte ich gesucht. Danke dir.

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Bitte. Viel Erfolg!

Answer 2

Hallo Matthias,

Ich kann Dir natürlich nicht sagen, ob Du eine Zeichnung abgeben sollst, oder eine Beschreibung in Prosa ausreicht. Aber wenn Du wissen willst, welchen geometrischen Effekt die Matrizentransformationen haben, so probiere sie einfach aus. Ich habe dazu probehalber ein Dreieck mit folgenden drei Punkten gewählt$$A = \begin{pmatrix}2 \\1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5\\ 1 \end{pmatrix}, \quad C= \begin{pmatrix} 1\\ 6 \end{pmatrix}$$Die Punkte sind beliebig, aber das Dreieck sollte möglichst allgemein sein.

jeder der Matrizen habe ich mit den Punkten multipliziert und sowohl die Punkte selbst, als auch ihre Abbildungen eingezeichnet - also die drei Punkte \(A'\), \(B'\) und \(C'\). Das kommt dabei heraus:

(i) Im ersten Fall handelt es sich um eine zentrische Streckung um den Faktor 3.

(ii) Im nächsten Fall ist es eine Rotation um 90° gegen den Uhrzeigersinn.

(iii) und im dritten Fall ist es eine Spiegelung an der Winkelhalbierenden der Koordinatenachsen im 1.Quadranten.

Versuche es selber mal. Und wenn Du unsicher bist, wie Matrix und Vektor bzw. Punkt multipliziert werden, bitte umgehend hier nachfragen.

Gruß Werner

Comments

Hallo Werner-S.,

hast du irgendwelche Buchempfehlungen bzgl. der Geometrie?

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Was hat das mit diesem Thread zu tun?

Stelle doch eine eigene Frage oder gehe damit in den Chat.

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Hi abakus,

es gibt leider aktuell keine Möglichkeit, eine Person direkt anzuschreiben, weswegen ich hier gefragt habe.

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hast du irgendwelche Buchempfehlungen bzgl. der Geometrie?

Nein - gar keine. Hier gilt dieser bekannte Spruch: Mathematik (und auch Geometrie) ist wie Autofahren. Man lernt es nicht durch bloßes Zusehen und auch nicht nur aus Büchern. Du musst es selber machen.

Ich kann mich auch nicht erinnern, jemals eine Buch über Geometrie in der Hand gehabt zu haben, nach meinem alten Schulbuch versteht sich.

ich würde Dir auch eher Cinderella oder Geogebra empfehlen; wenn Du es nicht schon hast.

Gruß Werner

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Ich komme damit immer noch nicht klar.

Ich glaube, dass wir das nicht so "kompliziert" machen sollen.

Kann man das nicht durch einzeichnen der Vektoren in ein Koordinatensystem erkennen?

z.B. v1=\( \begin{pmatrix} 3\\0 \end{pmatrix} \) ; v2=\( \begin{pmatrix} 0\\3 \end{pmatrix} \)

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ich glaube, dass wir das nicht so "kompliziert" machen sollen.

Hmmh! - ich finde das Multiplizieren von Matrizen mit Vektoren und anschließendem Einzeichnen in ein Koordinatensystem jetzt nicht sonderlich kompliziert.

Kann man das nicht durch einzeichnen der Vektoren in ein Koordinatensystem erkennen?

Sicher - der Unterschied zu der von mir beschriebenen Vorgehensweise ist die, dass man dann keine beliebigen Punkte (bzw. Vektoren) und ihre Transformation betrachtet, sondern die Einheitsvektoren und ihre Transformation.

Mit etwas Übung sind diese Dinge bei 2x2-Matrizen sowieso sofort ersichtlich. Da braucht man es gar nicht mehr zu zeichnen, sondern kann es sich unmittelbar vorstellen. Aber Du schreibst ja:

Ich komme damit immer noch nicht klar.

Wo genau ist Dein Problem? Letztlich geht es doch nur darum, eine geometrische Interpretation zu finden:

(i) -> Streckung um den Faktor 3

(ii) -> Linksdrehung um 90°

(iii) -> Spiegelung an der 45°-Linie

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Es gibt / gab schon auch Schulbücher, die dieses Thema anschaulich behandeln.

https://www2.klett.de/sixcms/media.php/229/Abbildungen%20und%20Matrizen.612823.pdf 

Ist aus einem Nachfolger von dem Buch, das bei uns verwendet wurde.

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Ich zeichne z.B. folgende Matrix \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}

in ein Koordinatensystem ein, wegen \( \begin{pmatrix} 3\\0 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 0\\3 \end{pmatrix} \) . Um die Abbildung zu bekommen, macht man ja folgendes:

$$\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x\\3y \end{pmatrix}$$

Ich möchte aber statt \( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \)  irgendein Vektor einsetzen um dann das Ergebnis im Koordinatensystem einzuzeichnen und daraus dann erkennen um welche geometrische Interpretation es sich handelt, sprich Streckung, Drehung, Spiegelung usw.

Das ganze will ich auf ein Blatt Papier tun. Aber mein Problem ist, welchen Vektor soll ich für x,y nehmen?

Denn schließlich soll man sowas auch in der Klausur händisch lösen.

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Das ganze will ich auf ein Blatt Papier tun. Aber mein Problem ist, welchen Vektor soll ich für x,y nehmen?

na eben irgendeinen! Du kannst die Einheitsvektoren wählen \(e_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0\end{pmatrix}^T\) und \(e_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1\end{pmatrix}^T\) oder eben die Vektoren \(A\), \(B\) und \(C\), die ich oben gewählt habe. Das, was die Transformation mit diesem Vektor macht, ist immer das gleiche.

Gruß Werner

Answer 3

Es geht ausdrücklich um Interpretation und nicht um Darstellung, allerdings kann eine Darstellung natürlich eine Idee zur Interpretation liefern.

Comments

Welche geometrischen Interpretationen gäbe es denn zur Auswahl? In unserem Script steht kaum etwas darüber. Es gibt nur Projektion und das ganz kurz. Aber die Aufgabe ist in einem anderen Kapitel und deshalb denke ich, dass man da was anderes machen muss. Was wäre denn z.B. die geometrische Interpretation für (i)?

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Allgemein: Streckungen, Spiegelungen, Drehungen, Verschiebungen usw. und allerlei Kombinationen aus diesen.