Kern , Bild und Fixpunktraum

Question

Aufgabe:

Es sei V = R³ mit Standardbasis {e_1, e₂, e₃} und f : V → V eine lineare Abbildung

mit f(e₁) = (1, 0, 3), f(e₂) = (2, 1, 0), f(e₃) = (2, 0, 1).

Bestimme Kern f, Bild f und den Fixpunktraum Fix f := {v ∈ V | f(v) = v} .

Kann mir das bitte jmd. helfen 

Danke schon mal im Voraus!

Answer 1

f(e1) = (1, 0, 3), f(e2) = (2, 1, 0), f(e3) = (2, 0, 1).

==>  Matrix ist  M

1     2      2
0     1      0
3     0      1    mit Gauss auf Stufenform zeigt:

Rang=3  also

Bild f   = R^3   Kern f  = {0}

Fix f :  Löse dazu M*v = v

<=>   M*v = E*v

<=>  (M-E) * v = 0

0     2      2
0     0      0
3     0      0   zeigt

v1=0  v2=t   v3=-t

Also alle Fixvektoren sind ( 0;t;-t) mit t∈ℝ.

Fix f = span( 0;1;-1) .