Allgemein - Beweisen dass ein uneigentliches Integral existiert (ohne unbedingt ausrechnen)

Question

Hi zusammen,

ich würde gerne wissen, wie vorgehen soll, wenn ich die Existenz eines uneigentlichen Integral beweisen soll.

Hier sind alte Aufgaben:

wenn ich die mir so anschaue, weiß ich nicht wie ich da überhaupt ansetzen soll.

Gibt es eine Art Definition oder Kriterien wo ich darauf hinaus rechnen soll oder ähnliches?

Die Wikipedia/Wikibooks Seiten zu uneigentlichen Integralen helfen da irgendwie nicht besonders.

Comments

Aufgabe a)

siehe hier:

https://mathepedia.de/Konvergenzkriterien_Uneigentliche_Integrale.html

Answer 1

zu a)

Die Stelle 0 ist unkritisch, weil \(\frac{sin(x)}{x}\) dort gegen 1 konvergiert.

Für x>0 hat die Funktion in regelmäßigen Abständen Nullstellen, die Flächen liegen abwechselnd oberhalb und unterhalb der x-Achse und werden wegen des Faktors 1/x ständig kleiner. Leibniz lässt grüßen.

zu b)

Das unbestimmte Integral von e^-x allein existiert schon. Der Faktor "sinus von irgendwas" dümpelt zwischen -1 und 1 herum und verkleinert nur den Betrag des Integrals von e^-x .

zu c) Kritisch ist nur die Stelle 0.

Comments

woah woah moment mal.

wieso konvergiert sin(x)/x gegen 1.

und was meinst du mit leibniz lässt grüßen

und wieso existiert das unbestimmte integral von e^-x bzw. wieso jetzt "unbestimmte" integral, war die rede nicht von uneigentlichen integralen?

und was heisst jetzt bei c ist kritisch die stelle 0

und wie beantwortet das alles die hauptfrage?

was ist die vorgehensweise???

---

"wieso konvergiert sin(x)/x gegen 1."

Das war bei und noch Schulstoff. Jetzt kannst du es wahrscheinlich nur mit L'Hospital nachweisen.

"und was meinst du mit leibniz lässt grüßen"
Kennst du das Leibnizkriterium?

" jetzt "unbestimmte" integral, war die rede nicht von uneigentlichen integralen?"

Ja, da habe ich mich verschrieben. Ich meinte uneigentlich.

"und was heisst jetzt bei c ist kritisch die stelle 0"

Das heißt, an der anderen Integrationsgrenze π passiert nichts weltbewegendes.

Ob das Integral existiert oder nicht entscheidet sich an der Stelle 0. Dort ist die Funktion nicht definiert.

"und wie beantwortet das alles die hauptfrage?"

Ich habe dir für a) und b) die Argumente für die Existenz des Integrals geliefert.