Integral: Grenzen und Variablen skalieren

Question

Aufgabe:

Es seif: (0,∞)→ℝ stetig mit lim_x→0f(x) =L und es existiere das uneigentliche Integral $$ \int_{r}^{\infty} \frac {f(x)}{x} dx $$ für jedes r >0. Weiter seien a, b>0.

Zeigen Sie für 0<r<s

$$ \int_{r}^{s} \frac {f(ax)-f(bx)} {x} dx = \int_{ar}^{as} \frac {f(t)} {t} dt - \int_{br}^{bs} \frac {f(t)} {t} dt $$

Problem/Ansatz:

Ich habe das linke Integral in die Form

$$ \int_{r}^{s} \frac {f(ax)} {x} dx - \int_{r}^{s} \frac {f(bx)} {x} dx $$ überführt, allerdings verstehe ich nicht, wie ich hier weiter machen muss.
Ich vermute, dass es etwas mit der Stammfunktion zu tun hat, da ich allerdings diese nicht bestimmen kann, ist das warscheinlich der Trick, den ich benötige.

Answer 1

Das ist eine ganz normale Substitution. Setze z.B. \( t = ax \) dann folgt \( dt = a dx \) und nicht vergessen die Integrationsgrenzen zu transformieren. Wenn \( a = r \) gilt, folgt \( t = ar \) und das Gleiche mit der oberen Grenze. Insgesamt folgt dann $$ \int_r^s \frac{ f(ax) } { x } dx = \int_{ar}^{as} \frac{ f(t) } { \frac{t}{a} } \frac{1}{a} dt   = \int_{ar}^{as} \frac{ f(t) } { t }  dt $$

Der Rest geht genauso.