Arithmetische Reihe, Termumformung

Question

Es liegt folgende arithmetische Reihe vor:

A1=1

A2=1+ (1+4)

A3=1 + (1+4) + (1+ 2*4)

A4=1 + (1+4) + (1+ 2*4) + (1+3*4)

An=1 + (1+4) + (1+ 2*4) +  ...(1+ n*4)        Richtig?

Wie kann ich nun eine möglichst kurze Formel für An rausbekommen, habe es mit Dreieckszahlen versucht  n*(n-1)  /   2

komme aber leider nicht wirklich weit.

Answer 1

A(n) = (2*n-1)*n

liefert für n=1..100:

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946, 1035, 1128, 1225, 1326, 1431, 1540, 1653, 1770, 1891, 2016, 2145, 2278, 2415, 2556, 2701, 2850, 3003, 3160, 3321, 3486, 3655, 3828, 4005, 4186, 4371, 4560, 4753, 4950, 5151, 5356, 5565, 5778, 5995, 6216, 6441, 6670, 6903, 7140, 7381, 7626, 7875, 8128, 8385, 8646, 8911, 9180, 9453, 9730, 10011, 10296, 10585, 10878, 11175, 11476, 11781, 12090, 12403, 12720, 13041, 13366, 13695, 14028, 14365, 14706, 15051, 15400, 15753, 16110, 16471, 16836, 17205, 17578, 17955, 18336, 18721, 19110, 19503, 19900

Comments

An=1 + (1+4) + (1+ 2*4) +  ...(1+ n*4)        Richtig?

Nicht ganz. Richtig wäre $$A(n) = 1 + (1+4) + (1+ 2\cdot 4) +  \dots+(1+(n-1)\cdot 4)$$Weglassen überflüssiger Klammern, Einsammeln der Einsen und Ausklammern von 4 führt zu $$A(n)=\underset{n\textrm{-mal}}{\underbrace{(1+1+\dots+1)}}+\underset{\left(n-1\right)\textrm{-te Dreieckszahl}}{\underbrace{(0+1+\dots(n-1))}\cdot4}$$Dies lässt sich zusammenfassen zu$$A(n)=n+\dfrac{n\cdot(n-1)}{2}\cdot4$$und weiter zu$$A(n)=2n^2-n=(2\cdot n-1)\cdot n$$wie oben bereits angegeben. Dein Ansatz war also (fast) richtig. Gut!