Kreisteile in einem Quadrat. Wie berechnet man die Fläche von der schraffierten Fläche?

Question

Aufgabe:

Kreisteile in einem Quadrat. Wie berechnet man die Fläche von der schraffierten Fläche?

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Alternativ berechne die Fläche mittels Integral: \(\displaystyle A=a^2\int_1^{\sqrt{3}} \left( \sqrt{4-x^2}-1 \right)\mathrm dx\).

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Danke für die Antwort, aber ich bin leider noch nicht mit Integralrechnung vertraut. Wir müssen das einfacher lösen können.

Answer 1

Hallo Atorian,

es gibt mehrere Möglichkeiten die Fläche zu berechnen. Entweder vom großen Quadrat Flächen abziehen - so wie von Roland gezeigt - oder die gesuchte Fläche in 'handliche' Teile zerlegen.

Schneide von der Fläche die Kreissegmente ab. Jedes Segment (hellgrün) habe die Fläche \(S\). Dann besteht die Gesamtfläche \(A\) aus $$A = 4S + Q$$\(Q\) ist die Fläche des Quadrats (gelb), was in der Mitte stehen bleibt. Für die Segmente gibt es eine Flächenangabe$$S = \frac{a^2}2 (\alpha - \sin \alpha)$$wobei \(\alpha = 30° = \pi/6\) der Öffnungswinkel (rot) des Segments ist. Also $$S = \frac {a^2}2 (\frac {\pi}6 - \frac 12)$$Bleibt noch die Seitenlänge \(s\) des Quadrats - die ist$$s = 2 a \cdot \sin \frac{\alpha}{2} = 2 a \cdot \frac 14(\sqrt 6 - \sqrt 2)$$Also ist die Fläche des Quadrats$$Q = s^2 = \frac{a^2}4(8-2\sqrt{12}) = a^2(2-\sqrt 3)$$macht zusammen:$$\begin{aligned} A &= a^2 \left( 4 \cdot \frac 12 (\frac {\pi}6 - \frac 12 ) + (2-\sqrt 3) \right) \\&= a^2\left( \frac {\pi}3 + 1 - \sqrt 3\right) \\&\approx 0,3151 \, a^2\end{aligned}$$Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

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Wieso Wurzel6-Wurzel2 Wie kommt man auf das?

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Wieso \(\sqrt 6 - \sqrt 2\) Wie kommt man auf das?

Der Winkel \(\alpha = 30° = \pi/6\) und $$\sin \frac{\alpha}2 = \sin \frac{\pi}{12} =  \frac 14\left( \sqrt 6 - \sqrt 2\right)$$siehe Formelsammlung Trigonometrie.

Der Wert folgt aus der Halbwinkelformel $$\sin \frac x2 = \sqrt{ \frac{1-\cos x}{2} }$$und dem Wert für \(\cos\pi/6 = \cos 30° = \sqrt3 /2\) was direkt aus dem Verhältnis von Höhe zu Seite am gleichseitigem Dreieck resultiert.

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Woher weisst du, dass der rote Winkel 30 Grad ist?

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Und wie kommst du auf die Formel für die Seitenlänge des Quadrates?

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Ah, die Formel für die Seitenlänge ist einfach die Kreissehne vom Segment.

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Aber das mit den 30 Grad verstehe ich immer noch nicht, wie bist du darauf gekommen?

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Ist das so, weil wir dort vom gleichseitigen Dreieck wissen, dass die eine Seite 60 Grad ist und da es ja der Thaleskreis ist, muss die obere Seite 90 sein und die linke Seite 30 und da das Quadrat einen rechten Winkel bilden muss, muss es eben 90 - 60 = 30 sein.

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Woher weißt du, dass der rote Winkel 30 Grad ist?

Das grün markierte Dreieck \(\triangle ABF\) ist ein gleichseitiges, da alle drei Seiten \(|AB|\), \(|BF|\) und \(|FA|\) gleich lang sind. Folglich ist der Winkel \(\angle BAF\) (blau) \(=60°=\pi/3\). Und da die Figur symmetrisch zur Diagonalen durch \(AC\) ist, muss auch der Winkel \(\angle EAD\) (gelb) \(=60°\) sein. Beide Winkel zusammen ergeben \(120°\). Der Winkel im Quadrat ist aber ein rechter - also \(90°\). Daher ist der Bereich der Überlappung (rot)$$\alpha = \angle EAF = 2 \cdot 60° - 90° = 30°$$

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Funktioniert auch meine Annahme oder ist die falsch?

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Ah, die Formel für die Seitenlänge ist einfach die Kreissehne vom Segment.

Ja - aber es ist einfacher als Du denkst.

Das gleichschenklige Dreieck \(\triangle AEF\) mit der Grundseite \(s = |EF|\) wird durch die Diagonale durch \(AC\) in zwei gleich große rechtwinklige Dreiecke geteilt. Wende in einem der Dreiecke einfach den Sinus an:

Sinus = Gegenkathete \(s/2\) zu Hypotenuse \(|AE|=a\) bzw. $$\sin \frac \alpha 2 = \frac {s/2}{a} \implies s = 2a \sin \frac \alpha 2$$Gruß Werner

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Ist das so, weil wir dort vom gleichseitigen Dreieck wissen, dass die eine Seite 60 Grad ist und da es ja der Thaleskreis ist, muss die obere Seite 90 sein und die linke Seite 30 und da das Quadrat einen rechten Winkel bilden muss, muss es eben 90 - 60 = 30 sein.

Ist das falsch?

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Funktioniert auch meine Annahme oder ist die falsch?

Ich sehe da nirgendwo einen Thaleskreis ...

... dass die eine Seite 60 Grad ist

und 'Seiten' sind auch keine Winkel von 60° oder 90°. Versuche das mal etwas formaler auszudrücken.

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Ich habe gerade nochmals genauer hingeschaut und du hast recht. Meine Annahme kann nicht stimmen. Dann muss wohl deine die einzig richtige sein. Ich glaube, dass ich das mit dem symmetrischen jetzt ein wenig besser verstanden habe. Das Dreieck EAD ist das gleiche Dreieck wie ABF.

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Den Rest konnte ich lösen. Ich danke dir sehr für deine Hilfe! Das war eine schwierige Aufgabe für mich. Vielen Dank! Mein Resultat und deines und das von meinem Lehrer sind im Einklang und das ist wunderbar.

Ich wünsche dir noch einen schönen Abend.

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Mein Resultat und deines und das von meinem Lehrer sind im Einklang und das ist wunderbar.

Prima - es hat mich gefreut, Dir helfen zu können.

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Es hat mich auch gefreut, dass du so viel Geduld mit mir hattest. Ich bin eben etwas speziell und brauche viel Unterstützung, damit ich etwas verstehe oder sehe. Aber wenn ich es dann mal wirklich verstanden habe, kann mich fast niemand beim Reproduzieren besiegen, dann bin ich echt sehr, sehr gut und vergesse es in Jahren nicht mal.

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Ich habe auch gemerkt, dass du mir sehr oft bei verschiedenen Sachen hilfst. Manchmal bin ich so verzweifelt, weil ich sonst niemanden habe der mir helfen kann, da meine Lehrer auch nie Zeit für mich haben.

Ich glaube, dass wir eine lange Zeit Kontakt haben werden, weil du wahrscheinlich sehr aktiv bist und meine einzige Rettung, wenn ich Fragen habe.

Ich möchte dir kurz wirklich erzählen, was ich für ein Problem habe und was meine Intention hinter allem ist, damit du mir immer besser helfen kannst, egal wobei in Mathe.

Ich weiss, dass das ein wenig komisch für die meisten rüberkommen wird, aber ich bin eben so und erzähle es in diesem Post, auch wenn es alle sehen.

Ich hatte in der 6 Klasse einen Autounfall, bei dem ich einen totalen Gedächtnisverlust erlitten habe. Ich musste alles neu lernen, wirklich alles und wurde leider aus dem Gymnasium raus geworfen und auch aus allen Schulen bis auf die unterste Stufe.

Ich habe mich aus dem Heim für Geistigbehinderte herausgekämpft, in dem ich mir alles innerhalb von wenigen Jahren beigebracht habe, aber wirklich alles mit Hilfe meines Vaters.

Ich habe mir geschworen, dass ich wieder auf dem alten Stand sein werde. Ich möchte etwas erreichen und dafür muss ich sehr viel lernen. Du hast sicherlich gemerkt, dass mir immer irgendwelche Grundlagen fehlen und du darfst mich sehr, sehr gerne darauf hinweisen. Ich bitte sogar jeden, der mir hilft, dass er mich auf meine Fehler hinweist und wenn er mir etwas erklärt, dann sollte er mit mir Geduld haben, weil ich leider eben sehr wenig Lebenserfahrung habe.

Theoretisch gesehen habe ich 6 Jahre Lebenserfahrung in einem 19 jährigen Körper.

Ich danke dir und hoffe auf weitere Unterstützung von dir und von dieser Seite. Ihr seid die einzigen, die mir eigentlich weiterhelfen können, wenn ich verzweifelt etwas zu verstehen versuche.

Grüsse aus der Schweiz

Von Atorian

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Hallo Atorian,

meine Unterstützung hast Du! Nur verlasse Dich nicht zu sehr darauf, dass ich immer 'online' bin. Ich kann auch mal 2 Wochen am Stück nicht da sein. Aber ich denke, dass Dir hier auch anderen helfen können.

Dabei ist es hilfreich, wirklich konkrete Fragen zu stellen. Wenn Du z.B. Roland fragst

Wie kann ich die jetzt berechnen. 

(s.o.), dann ist nicht wirklich klar, wo eigentlich Dein Problem liegt. Besser Du fragst z.B. 'Wie berechnet man die Seite BC?' oder 'Wie berechnet man die schwarze Fläche?'. Versuche das Problem in kleine Häppchen runter zu brechen. Dann steigt die Wahrscheinlichkeit für eine sinnvolle Antwort stark an.

Ich wünsche Dir alles Gute und viel Erfolg

Gruß Werner

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Oki, das werde ich machen. Vielen Dank für den Tipp!

Answer 2

Setze vier Einheitsquadrate so zusammen, wie das linke Bild zeigt.

Das rechte Bild zeigt eine Vergrößerung eines Einheitsquadrates. Das Dreick ABC hat die Seitenlänge √6 - √2.

B und C liegen auf einem Kreis mit dem Radius √6 - √2 mit demMittelpunkt A.

Mit diesen Angaben kannst du in der Abbildung unten sowohl die graue als auch die schwarze Fläche berechnen.

Danach gelingt die Berechnung zunächst des Anteils der gesuchten Fläche an 4 FE. Das ist auch der Anteil an a² FE

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Wie kann ich die jetzt berechnen. Ich bin eben nicht so gut in solchen Sachen, könntest du mir vielleicht bitte weiterhelfen.

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Das Dreieck ABC hat die Seitenlänge √6 - √2.

\(\sqrt 6 - \sqrt 2 \gt 1\) ... das wäre etwas viel. Das Dreieck hat die Seitenlänge$$\frac sa = \frac 12 \left( \sqrt 6 - \sqrt 2\right)$$

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Werner, hast du bedacht, dass mein Ausgangsquadrat aus 4 Einheitsquadraten zusammengesetzt ist und die Seitenlänge 2 hat?

An dieser Stelle gehe ich auf a noch nicht ein. Daher hat die von mior genannte Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks nichts mit a (oder s) zu tun.

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.. dass mein Ausgangsquadrat aus 4 Einheitsquadraten zusammengesetzt ist und die Seitenlänge 2 hat?

Oh ja - das habe ich nicht gesehen. Dann stimmt das mit den \(\sqrt 6 - \sqrt 2\).

Answer 3

hier ist eine Skizze, ich habe für \(a=5\) genommen.

Ich denke, dass ist ein Anfang, oder?

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Jetzt weiss ich, wie die Figur entstanden ist, aber ich weiss immer noch nicht, wie ich jetzt mit der Berechnung anfangen soll.

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Du könntest als Grundfläche von dem Quadrat, also \(a^2\) ausgehen.

Außerdem siehst du, dass der Teil des Quadrats, der nicht von dem Kreis eingeschlossen ist, gleich dem Flächeninhalt des Quadrats minus einem Viertel des Kreises ist.

Das wäre ein Anfang.

Als Hinweis, der FE beträgt allerdings nicht 4 * den nicht vom Kreis eingeschlossenen Teil im Quadrat.