Bestimmen der Schnittgeraden G

Question

Aufgabe:

$$E _ { 1 } = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) + \mathbb{R} \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 2 } \\ { 1 } \end{array} \right) + \mathbb{R} \left( \begin{array} { r } { - 1 } \\ { 0 } \\ { 3 } \end{array} \right) \text { und } E _ { 2 } = \left( \begin{array} { r } { 0 } \\ { 1 } \\ { - 1 } \end{array} \right) + \mathbb{R} \left( \begin{array} { r } { 1 } \\ { 0 } \\ { - 1 } \end{array} \right) + \mathbb{R} \left( \begin{array} { r } { - 1 } \\ { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right)$$

Problem/Ansatz:

Bestimmen Sie die Schnittgerade G der beiden Ebenen, indem Sie
a) einen Normalenvektor fur jede Ebene bestimmen, ¨
b) das Kreuzprodukt v = n1 × n2 der Normalenvektoren der beiden Ebenen berechnen,
c) einen Punkt p ∈ E1 ∩ E2 finden.
Die Schnittgerade G ist dann gegeben durch G = p + R

Ich habe für v (-4/-4/4) und für p (1,5/2/0,5) raus.

Kann das stimmen ?

Answer 1

für v erhalte ich (4,4,-4)

Dein Punkt P liegt nicht auf E2.

Comments

Wie kommst du drauf ?

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\(\vec{n}_{E_1}=\begin{pmatrix} 6\\ -4\\ 2 \end{pmatrix},\;\vec{n}_{E_2}=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \vec{n}_{E_1}\times \vec{n}_{E_2}=\begin{pmatrix} 4\\ 4\\ -4 \end{pmatrix}\)

und \(d(E_2;P)=\dfrac{|1\cdot1.5 +1\cdot0.5+1|}{\sqrt{2}} = \sqrt{9/2}\)

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Wäre G= \( \begin{pmatrix} -1\\-3\\-2 \end{pmatrix} \)+s*\( \begin{pmatrix} 0\\2\\4 \end{pmatrix} \) eine Lösung ?

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Nein, die Gerade läge nur in in E1. Dein Richtungsvektor sollte das Vektorprodukt der beiden Normalenvektoren sein.

Eine Möglichkeit wäre \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix} -1\\ -2\\ 0 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} -1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}\)

Answer 2

Vorweg: In der Aufgabe steht viermal ℝ für vier verschiedene Zahlen aus ℝ. Da sollte besser z.B. κ, λ, μ und ν stehen.

Zu b) das Kreuzprodukt v = n₁ × n₂ der Normalenvektoren der beiden Ebenen berechnen,

Die Nomalenvektoren haben einen überflüssigen Artikel. Mit einem Normalenvektor sind auch alle dazu kollinearen Vektoren ebenfalls Normalenvektoren. n₁=α·\( \begin{pmatrix} 6\\-4\\-2 \end{pmatrix} \)

n₂=β·\( \begin{pmatrix} 1\\0\\1\end{pmatrix} \)

n₁×n₂=γ·\( \begin{pmatrix} -4\\-8\\4 \end{pmatrix} \),also wäre z.B. v=\( \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \end{pmatrix} \) .

Comments

Da sollte besser z.B. κ, λ, μ und ν stehen.

Wieso wäre das besser ?  Außerdem müsste dann zwingend noch   " κ, λ, μ, ν ∈ ℝ " dastehen.

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Ist das noch mein guter, alter, kluger Gast hj2166, der jetzt angfängt sich mit Marginalien zu beschäftigen?

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Marginal sind deine Rechenfehler, hingegen zeugt  In der Aufgabe steht viermal ℝ für vier verschiedene Zahlen aus ℝ.  von eine grundsätzlich falschen Konzeption.