Zeigen Sie, dass die beiden Ebenen sich schneiden, und bestimmen Sie eine Gleichung ihrer Schnittgeraden s.

Question

Gegeben sind die beiden Ebenen \( F: x_{1}+x_{3}=-1 \) und \( G: x_{1}+x_{2}-x_{3}+3=0 \).

a) Zeigen Sie, dass die beiden Ebenen sich schneiden, und bestimmen Sie eine Gleichung ihrer Schnittgeraden s.
b) Weisen Sie nach, dass alle Ebenen der Schar \( E_{t}:(t+1) \cdot x_{1}+x_{2}+(t-1) \cdot x_{3}+3+t=0 ; t \in \mathbb{R} \) die Gerade s enthalten.
Überprüfen Sie, ob die beiden Ebenen \( F \) und \( G \) Ebenen der Ebenenschar \( E_{t} \) sind.
c) Welche Beziehung besteht zwischen \( t \) und \( t^{*} \), wenn die beiden Ebenen \( E_{t} \) und \( E_{t} \). zueinander orthogonal sind?
Untersuchen Sie, zu welcher Ebene \( \mathrm{E}_{\mathrm{t}} \) es keine solche Ebene \( \mathrm{E}_{\mathrm{t}} \). der Schar gibt.

Ich verstehe die ganze Aufgabe nicht, besser gesagt, mir fehlen die Ansätze.

Answer 1

a)

Die Normalenvektoren der Ebenen sind linear unabhängig und darum schneiden sich die Geraden.

x + z = - 1 → x = - z - 1
x + y - z + 3 = 0 → x + y - z = - 3

I in II einsetzen

(- z - 1) + y - z = - 3 → y = 2·z - 2

Lösung

X = [- z - 1 ; 2·z - 2 ; z] = [- 1 ; - 2 ; 0] + z·[- 1 ; 2 ; 1]

b)

Wenn eine Ebene 2 Punkte einer Geraden enthält, dann enthält sie auch die Gerade.

F ist nicht enthalten
G ist enthalten für t = 0

c)

Zwei Ebenen sind orthogonal (senkrecht), wenn die Normalenvektoren orthogonal zueinander sind. Das bedeutet ihr Skalarprodukt muss null sein.