Zeigen Sie, dass sich die Ebenen E1 und E2 schneiden.

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Ebenen E1:x= (1|1|2) +r(-4|1|3)
+s(4|2|-3) und E2: x-2y+z=4
a) Zeigen Sie, dass sich die Ebenen E1 und E2 schneiden. Bestimmen Sie die Schnittgerade
sowie den Schnittwinkel.
b) Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P(6|3|7) von E1.

Problem/Ansatz:

Brauche dringend Hilfe. Weiß absolut nicht wie..

Answer 1

E1:x= (1|1|2) +r(-4|1|3)+s(4|2|-3)

==>   \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\1\\2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} -4\\1\\3 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4\\2\\-3 \end{pmatrix}\)

Also im Einzelnen

  x = 1 - 4r + 4s
     y =  1 + r -3s
     z= 2 + 3r - 3s

einsetzen bei E2 gibt

   (1 - 4r + 4s)-2( 1 + r -3s )+( 2 + 3r - 3s )=4

Das gibt r = -1 + ( 7/3 ) s. Einsetzen bei E1 gibt

\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\1\\2 \end{pmatrix}+(-1+\frac{7}{3}s) \cdot \begin{pmatrix} -4\\1\\3 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4\\2\\-3 \end{pmatrix}\)

Das kannst du zur Geradengleichung der Schnittgeraden

zusammenfassen.

Schnittwinkel ist der Winkel zwischen den Normalenvektoren, also

zwischen \(\begin{pmatrix} 3\\0\\4 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 1\\-2\\1 \end{pmatrix}\).

Bekommst du mit dem Skalarprodukt und cos(α)= |u*v| / ( |u|*|v|).

Für den Abstand bilde eine Gerade durch P mit dem Normalenvektor

von E1 als Richtungsvektor und schneide diese mit E1.

Die Länge der Strecke von P zum Schnittpunkt ist der Abstand.