Zeigen Sie, dass sich g und E schneiden.

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Ebene E: [x-(4|-3|2)]•(3|-4|6)= 0 und die Gerade g:x=(8|-6|2)+r(2|3|2).

Zeigen Sie, dass sich g und E schneiden. Bestimmen Sie den Schnittpunkt sowie den Schnittwinkel.

Problem/Ansatz:

Ich weiß absolut nicht wie.

Answer 1

dass sich g und E schneiden

Am Schnittpunkt ist das x in der Ebenengleichung das gleiche wie das in der Geradengleichung.

Deshalb Gerade in die Ebene einsetzen und Gleichung lösen. Falls es eine Lösung gibt, dann schneiden sich gerade und Ebene.

Lösung in die Gerade einsetzen um den Schnittpunkt zu bestimmen.

Schnittwinkel ist

        90° - Schnittwinkel von Gerade und Normalenvektor der Ebene.

Normalenvektor der Ebene ist \(\begin{pmatrix}3\\-4\\6\end{pmatrix}\).

Comments

Wie mache ich das?

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Genau so, wie Oswald es geschrieben hat.

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Also setze ich in der Ebene für x die Gerade ein?

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Und wie berechne ich den Schnittwinkel schriftlich?

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Und wie berechne ich den Schnittwinkel schriftlich?

Du berechnest zunächst den Winkel zwischen dem Normalenvektor \(\vec n\) der Ebene und dem Richtungsvektor \(\vec d\) der Geraden. In dieser Aufgabe ist $$\vec n =\begin{pmatrix}3\\ -4\\ 6\end{pmatrix}, \quad \vec d = \begin{pmatrix}2\\ 3\\ 2\end{pmatrix}$$Allgemein gilt für einen Winkel \(\alpha\) zwischen zwei Vektoren \(\vec n\) und \(\vec d\) (siehe Skalarprodukt)$$\cos(\alpha) = \frac{\vec n \cdot \vec d}{|\vec d|\cdot |\vec d|}$$da kommen bei mir etwa \(\alpha \approx 79,3°\) heraus. Und den zieht man jetzt von \(90°\) ab. Der Schnittwinkel \(\varphi\) von Ebene und Gerade ist dann $$\varphi = 90°- \alpha \approx 10,7°$$