Nullstellen kubisches Polynom

Question

Gegeben ist das kubische Polynom

$$ax^3+bx^2+cx+d$$

mit rationalen Koeffizienten.

Wie findet man möglichst effizient alle drei Nullstellen?

Comments

was sollen da die Dollar Zeichen, stell eine Besipiel Aufgabe und dran kann man es besser erklären.---

Answer 1

mit den Formeln von Cardano.

https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

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Die Cardanoschen Formeln kenne ich. Im Wissen um die rationalen Koeffizienten muss es besser gehen. (Außerdem ist der Artikel in Wikipedia oberflächlich und teilweise falsch.)

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Ob die Koeffizienten rational oder sogar ganzzahlig sind ist egal.

Betrachte z.B $$f(x)=x^3-x^2-x-1$$

Im Allgemeinen sind die enstehenden Lösungen irrational oder komplex. An der Berechnungsmethode der exakten Lösungen ändert das ja auch nix. Wenn es dir um Effizienz geht und du die Cardano-Formeln nicht handhaben kannst, dann bleiben dir nur Näherungsverfahren.

Answer 2

Es gibt analog zu den pq-Formeln (quadratische Gleichung)

bei kubischen Gleichungen die PQRST-Formeln:

http://www.lamprechts.de/gerd/Quartische_Gleichung.html

Da es explizite Formeln ohne Fallunterscheidung (Cardanische F. hatten noch Fallunterscheidungen)

sind, kann man die Effizienz nicht weiter toppen.

Der Nullstellenrechner unter http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

rechnet beide Algorithmen online mit Zwischenergebnissen vor.

Hinweis: 

Wenn man mehr als 1000 Nachkommastellen berechnen will, ist eine optimierte Newton-Iteration meist schneller als 3. Wurzeln mit komplexen Zahlen zu berechnen.

Weiterer Vorteil: PQRST- (Grad 3) & PQRSTUVW-Formeln (für Grad 4) funktionieren so universell, dass die Faktoren a, b, c d selbst auch komplex sein dürfen.

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Wo sind die Vorteile?

Du hast in Deiner PQRST-Formel einfach die ganz normalen Cardano-Formel in etwas anderer Form geschrieben.