Taylorpolynom von Funktion

Question

Aufgabe:

Bestimme das Taylorpolynom 4. Grades von folgender Funktion: 1 / (1 - sin(x)

Problem/Ansatz:

Mir ist klar, dass es sich hierbei um die geometrische Reihe handelt. Die Reihenentwicklung der Funktion wäre dann ja _k=0∑(sin(x))^k.

Ist das Taylorpolynom dann nicht einfach die Summe der Partialsummen dieser Reihe mit maximalem Grad 4?

Comments

und die Entwicklungsstelle?

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Achja, sorry. Die 0 ist die Entwicklungsstelle.

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Danke euch allen für die Vorschläge. Verstehe das ganze Thema jetzt schon etwas besser. :))

Answer 1

Hallo

Nein , das Taylorpolynom ist ein Polynom, also ∑a_nx^n du musst es also wirklich bestimmen, indem du die ersten 4 Ableitungen bildest, ihren Wert an der uns unbekannten Stelle bestimmst  und in die Taylorformel einsetzt

Gruß lul

Comments

Alles klar, danke für die Antwort.

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  Glückwunsch Study;  wenn ich das mit meinem Ergebnis vergleiche, scheint das ja sogar richtig zu sein.

   Du watschelst auf den Spuren der ganz Großen so wie Leonhard Euler.  Im Grunde war der Mann recht Fantasie los; der hat nur immer wieder Reihen aus Reihen in Reihen eingesetzt so wie du.

   Der ====> Schopenhauersche ===>  Mausefallenbeweis

   " Weil ich dem Mann das Recht auf seine absolut Sinn losen Reihen nicht absprechen kann,  die niemand braucht außer zu diesem  ganz spezifischen Zweck, schnappt die Mausefalle zu, und der Satz ist bewiesen. "

   Ich selbst empfinde wie gesagt mein Verfahren als  eleganter, die ganzen Ableitungen auszurechnen.

   Aber es geht wie gesagt nicht nach mir.

   ( Ich weiß;  verschiedene Herren wird es begeistern, dass auch ich zu derartigen Einsichten fähig bin ... )

   Deine Methode ist völlig korrekt; und sie führt zu dem richtigen Ergebnis.

   Vielleicht ist mein Nickname " Cookie " ja gar nicht so verkehrt.  Es gibt einen Sketch  " Matching Cookies "  , wo Krümelmonster in Sekundenbruchteilen  mit traumwandlerischer Sicherheit immer wieder den pasenden Keks findet -

   genau wie du mit deiner Reihe ...

   Übrigens; wenn du mal so richtig von Herzen lachen willst.

  Auf Youtube aus der Sesamstraße der Sketch

    " The Magic Apple "

Answer 2

bilde das Taylorpolynom:$$T_4f(x;0)=\sum_{k=0}^{4}{\frac{f^{k}(0)}{k!}x^k}=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{4}(0)}{4!}x^4$$ Bilde also die ersten vier Ableitungen von \(f(x)=\frac{1}{1-\sin(x)}\) und setze jeweils \(a=0\) ein.

Kontrollergebnis: \(T_4f(x;0)=1+x+2x^2+5x^3+16x^4\)

Comments

Ok, danke dir.

Als Hinweis steht bei der Aufgabe, man soll die geometrische Reihe verwenden. Mir ist aber nicht ganz klar, wie man die hier verwenden soll.

Ich habe versucht die geometrische Reihe abzuleiten, aber das deckt sich nicht mit deinen Ergebnissen.

Irgendeine Idee, wie das mit dem Hinweis gemeint ist?

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Kontrollergebnis: \(T_4f(x;0)=1+x+2x^2+5x^3+16x^4\)

Hallo Anton,
Du hast vergessen, durch \(k!\) zu dividieren. Besser: $$T_4(x)= 1+x+x^2+ \frac 56 x^3+ \frac 23 x^4$$
~plot~ 1/(1-sin(x));1+x+x^2+5x^3/6+2x^4/3;[[-3|3|-0.5|3.5]] ~plot~

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Mist! Danke für den Hinweis!

Answer 3

  Nein; Georeihe sicher nicht.  Denn die Georeihe - mach dir das bitte klar - ist doch weiter nix als die Taylorentwicklung von 1 / ( 1 - x )     Ich geh mal davon aus, dass wir   um x_0 = 0 entwickeln;  Konvergenzradius wäre dann 1/2 Pi . Schlicht und ergreifend, weil +/- Pi / 2  die zu Null nächst gelegenen Polstellen sind

   Die ganzen Ableitungen besorge ich mir übrigens über die ===>  Leibnizregel. Siehe z.B.    " Kuhrand "  ( Courant_Hilbert Band 2 )  Bei der Leibnizregel handelt es sich um eine verallgemeinerte Produktregel, die dir gestattet, aus dem Stand die 4 711. Ableitung einer Funktion zu ermitteln, ohne vorher die 4 710. zu kennen. Die   gesuchten Ableitungen werden uns dann Mund gerecht serviert in Form eines LGS  in Gaußscher Dreiecksform.  Gebrochene Funktionen sind mir grundsätzlich suspekt; bringen wir das Ganze erstmal auf den HN  und wenden ===> implizites Differenzieren an:

     y  (  1 -  sin ( x ) )   =  1      ( 1a )

   y '   (  1 -  sin ( x ) )   -  y  cos  (  x  )  =  0       (  1b  )

       Jetzt den Entwicklungspunkt   x0  =  0 in  ( 1b )  einsetzen

     f  '  (  0  )  -  f  (  0  )  =  0    =====>  f  '  (  0  )  =  1      (  1c  )

                1 

    -----------------------   =  1 +  x     (  1d  )

      1 - sin ( x )

     ( 1d ) ist   also die Taylorentwicklung deiner Funktion in linearer Näherung.   Die Leibnizregel funktioniert übrigens analog dem Binomischen Satz;  demnach hast du für die 2. Ableitung

      (  u  v  )  "  =  u  "  v  +  2  u  '  v  '  +  u  v  "       (  2a  )

     Wie gesagt machen wir kein langes Federlesen und starten direkt von  Darstellung ( 1a )  ; das geht allemal schneller als der Umweg über den Zwischenschritt (   1b   )

    y  "  (  1  -  sin  (  x  )  )  -  2  y  '  cos  (  x  )  +  y  sin  (  x  )  =  0      (  2b  )

     f  "  (  0  )  -  2  f  '  (  0  )  =  0   =====>  f  "  (  0  )  =  2     (  2c  )

          1

    -----------------------   =   1  +   x  +  x  ²        (  2d  )

      1 - sin ( x )

     Jetzt  die binomische Formel  "  hoch 3 "

      (  u  v  ) (³)  =  u (³)  v  +  3  u  "  v  '  +  3  u  '  v  "  +  u  v  (³)        (  3a  )

     Das wieder angewendet   auf  ( 1a )

       y (³)    (  1 -  sin ( x ) )   -  3  y  "  cos  (  x  )  +  3  y  '  sin  (  x  )  +  y  cos  (  x  )  =  0     (  3b  )

  f (³)    (  0  )  -  3  f  "  (  0  )  +  f  (  0  )  =  0  ===>   f (³)    (  0  )  =  5      (  3c  )

           1

    -----------------------  =  1  +  x  +  x  ²   +  5/6  x  ³       (  3d  )

      1 - sin ( x )

     In dritter Ordnung hast du bereits eine Abweichung von der Georeihe; jetzt noch die Endrunde

   ( d/dx ) ^ 4  ( u v ) = v ( d/dx ) ^ 4  u + 4 u(³) v ' + 6 u " v " + 4 u ' v(³) + u ( d/dx ) ^ 4   v    ( 4a )

   ( 1  - sin ( x ) )  ( d/dx ) ^ 4  y  -  4  y(³)  cos  (  x  ) + 6 y "  sin  ( x ) +  4  y ' cos ( x )  - y sin ( x ) = 0   (  4b  )

   ( d/dx ) ^ 4   f  (  0  )  -  4  f(³)  (  0  )  +  4  f  '  (  0  )  =  0  ===>  ( d/dx ) ^ 4  f  (  0  )   =  16  (  4c  )

         1

    -----------------------  =  1  +  x  +  x  ²  +  5/6  x  ³   +  2/3   x  ^ 4        (  4d  )

      1 - sin ( x )

Comments

Hallo

 wenn du die geometrische Reihe also ∑(sin(x))^n verwenden willst musst du darein die bekannte Reihe für sin einsetzen, und  soviel Glieder verwenden dass du bis x^4 kommst.

ich halte das für länger als direkt die Ableitungen zu berechnen, aber möglich ist es natürlich

Gruß lul

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Ok, aber wie sehe das denn dann konkret aus? Die Sinusreihe ist ja:

$$\sin ( x ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } {(-1)^k} \frac { x^{2k+1} } { (2k+1)! } = x - \frac { x ^ { 3 } } { 6 } + \frac {x^5}{120} - \frac{x^7}{7!} + O \left( x ^ { 9 } \right)$$

Und eingesetzt wäre das dann ja: $$\sum _ { k = 0 } ^ { \infty } (\sin(x))^k = (x- \frac{x^3}{6})^0 + (x- \frac{x^3}{6})^1 + (x- \frac{x^3}{6})^2 + (x- \frac{x^3}{6})^3 + (x- \frac{x^3}{6})^4 + O \left( x ^ { 5 } \right)$$

$$= 1 + x- \frac{x^3}{6} + x^2 -  \frac{x^4}{3} + x^3 + x^4 + O \left( x ^ { 5 } \right)$$

$$= 1 + x + x^2 + \frac{5}{6}x^3 + \frac{2}{3}x^4 + O \left( x ^ { 5 } \right)$$

Das wäre dann doch das Taylorpolynom 4. Grades (also natürlich ohne der Ordnung O(x⁵) zum Schluss). Oder etwa nicht?